Алгебраические преобразования

Относится к заданиям: 1, 5, 8, 14, 91, 95

Содержание

Суть темы: тождественные преобразования на ДВИ
Часть I. Алгебраические преобразования
Часть II. Мост к тригонометрии: ФСУ внутри тождеств
Часть III. Ключевые методы преобразований в уравнениях
Примеры решения тригонометрических уравнений
Часть IV. Доказательство тождеств и преобразование при ограничениях
Частые ошибки
Что запомнить
Оформление под рубрику ДВИ

Суть темы: тождественные преобразования на ДВИ

В заданиях ДВИ МГУ алгебра и тригонометрия редко существуют изолированно. Часто в одном уравнении (обычно это номера 1 или 4) требуется применить формулы сокращённого умножения (ФСУ), сгруппировать слагаемые, раскрыть модуль, рационализировать иррациональность, свернуть логарифмы и выполнить тригонометрические преобразования.

Лист со справочными материалами на экзамене не выдают. Все ключевые тождества — от базовых ФСУ до формул понижения степени, суммы тригонометрических функций и свойств логарифмов — необходимо выводить или помнить наизусть. Главный критерий успешного решения на ДВИ — равносильность переходов и строгий контроль ОДЗ: на каждом преобразовании проверяющий смотрит, не появились ли посторонние корни и не потерялись ли существующие.

Этот конспект устроен «снизу вверх»: сначала собственно алгебраические преобразования (дроби, степени и корни, логарифмы, многочлены), затем мост к тригонометрии, и в конце — сквозные методы, разбор ошибок и эталон оформления под рубрику ДВИ.

Этот конспект — рабочая тетрадь с разобранными примерами. Сжатый перечень всех формул без выводов лежит в справочнике ДВИ — туда удобно заглядывать, когда нужна сама формула, а не её применение.

Часть I. Алгебраические преобразования

1.1. Формулы сокращённого умножения — рабочий инструмент

Это фундамент, который на ДВИ используют не как «факт из учебника», а как ежедневный приём свёртки и разложения. Их нужно узнавать в обе стороны.

Пример A1: выделение полного квадрата

Упростите: $\dfrac{a^4 + a^2 + 1}{a^2 + a + 1}$ при допустимых $a$ .

1.2. Рациональные дроби

Главные приёмы: приведение к общему знаменателю, сокращение с контролем ОДЗ, выделение целой части.

АЛГОРИТМ

Работа с рациональной дробью

Сначала ОДЗ. Выпиши все условия «знаменатель $\neq 0$ » до любых сокращений. Сокращение скрывает запрет, но не отменяет его.
Разложи числитель и знаменатель на множители (ФСУ, теорема Виета, группировка).
Сократи общий множитель. Если сократил $(x-x_0)$ , точка $x = x_0$ всё равно остаётся выколотой.
Приведи к общему знаменателю при сложении дробей; не теряй знаки.
Выдели целую часть делением, если степень числителя $\geqslant$ степени знаменателя.

Пример A2: упрощение громоздкой дроби

Упростите выражение

\left(\frac{x}{x-2} - \frac{x}{x+2}\right) : \frac{4x}{x^2 - 4}.

1.3. Степени и корни. Иррациональности

Пример A3: рационализация знаменателя

Упростите: $\dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ .

Пример A4: свёртка двойного радикала

Упростите: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ .

1.4. Логарифмы

На ДВИ без листа формул переход к новому основанию и свойства логарифма надо помнить вместе с точными условиями — именно условия чаще всего и проверяет рубрика.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Модуль в логарифме — только при чётной степени

Тождество $\log_a b^n = n\log_a b$ верно при $b > 0$ . При работе на расширенной области:

\log_a b^{2k} = 2k\,\log_a|b| \quad (b \neq 0)

— модуль появляется только для чётного показателя $2k$ . Для нечётного $n$ писать $\log_a b^n = n\log_a|b|$ нельзя: при $b<0$ левая часть не определена, а правая определена — переход расширяет ОДЗ и порождает посторонние корни. Аналогично $\log_a(bc) = \log_a|b| + \log_a|c|$ допустимо только при $bc > 0$ .

Пример A5: преобразование логарифмического выражения

Вычислите: $\log_2 6 \cdot \log_6 8$ .

Пример A6: смена основания и условия

Упростите при $x > 0,\ x \neq 1$ : $\ \dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x} + \dfrac{1}{\log_5 x}$ .

1.5. Многочлены: деление, теорема Безу, схема Горнера

Схема Горнера — быстрое деление на $(x - a)$ за один проход. Для $P(x) = c_n x^n + \dots + c_0$ выписываем коэффициенты в строку; первый сносим, дальше каждый следующий = (предыдущий результат) $\cdot a$ + (текущий коэффициент). Последнее число — остаток $P(a)$ .

Пример A7: разложение кубического многочлена

Разложите на множители: $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Подбираем корень

Многочлен приведённый, значит рациональные корни целые и делят свободный член $-6$ : кандидаты $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Проверяем $x=1$ :

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0.

Значит $(x-1)$ — множитель.

Делим схемой Горнера

Делим схемой Горнера на $(x-1)$ , коэффициенты $1,\ -6,\ 11,\ -6$ :

	$1$	$-6$	$11$	$-6$
$a=1$	$1$	$1\cdot1-6=-5$	$-5\cdot1+11=6$	$6\cdot1-6=0$

Частное: $x^2 - 5x + 6$ , остаток $0$ (подтверждает корень).

Раскладываем квадратный трёхчлен

Раскладываем $x^2 - 5x + 6$ . По теореме Виета корни $2$ и $3$ ( $2+3=5$ , $2\cdot3=6$ ):

x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).

Итог:

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).

1.6. Квадратный трёхчлен и симметрические выражения

ВАЖНОЕ

Квадратный трёхчлен

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2), \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\ D = b^2 - 4ac.

Выделение полного квадрата (вершина):

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right).

Теорема Виета ( $a \neq 0,\ D \geqslant 0$ ): $\ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\ \ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}.$ Симметрические комбинации:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2, \qquad x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)\big((x_1+x_2)^2 - 3x_1 x_2\big).

Пример A8: возвратное уравнение заменой

t = x + 1/x

Решите: $x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Алгебраические ловушки ОДЗ

Сокращение дроби удаляет точку из области: $\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ равно $x+2$ только при $x \neq 1$ .
Деление на выражение, которое может обратиться в ноль (на $x$ , на $\cos x$ , на $(x-a)$ ), требует отдельного разбора случая «делитель $=0$ » — иначе теряются корни.
Свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ верно только при $a \geqslant 0,\ b \geqslant 0$ . При $a,b<0$ слева корень определён, справа — нет.
Возведение в квадрат иррационального уравнения — неравносильный переход: появляются посторонние корни. Нужна либо проверка, либо равносильная система $\sqrt{f} = g \iff \{f = g^2,\ g \geqslant 0\}$ .

Часть II. Мост к тригонометрии: ФСУ внутри тождеств

Алгебраические ФСУ из Части I напрямую порождают тригонометрические «блоки», которые постоянно встречаются на экзамене. Покажем вывод — на ДВИ без листа формул использование готовой блочной формулы без вывода может стоить балла.

ВАЖНОЕ

Вывод блоков чётных степеней

\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x\cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x.

Так как $\sin x\cos x = \tfrac12\sin 2x$ , то $2\sin^2 x\cos^2 x = \tfrac12\sin^2 2x$ , и

\boxed{\ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \tfrac12\sin^2 2x.\ }

Аналогично через сумму кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ с $a=\sin^2 x,\ b=\cos^2 x$ :

\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x\cos^2 x + \cos^4 x).

Первая скобка $=1$ ; вторая $= (\sin^4 x + \cos^4 x) - \sin^2 x\cos^2 x = (1 - 2\sin^2 x\cos^2 x) - \sin^2 x\cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x\cos^2 x$ . Значит

\boxed{\ \sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x\cos^2 x = 1 - \tfrac34\sin^2 2x.\ }

Мини-свод тригонометрических формул, используемых дальше

Эти формулы применяются в примерах Части III. Без листа формул их нужно помнить наизусть.

ВАЖНОЕ

Рабочий свод

Понижение степени / двойной угол:

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1, \qquad \sin 2x = 2\sin x\cos x.

Сумма/разность в произведение:

\sin\alpha \pm \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha \pm \beta}{2}\cos\frac{\alpha \mp \beta}{2}

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \qquad \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.

Метод вспомогательного аргумента:

a\sin x \pm b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x \pm \varphi), \quad \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Отсюда строгая оценка: $\ |a\sin x \pm b\cos x| \leqslant \sqrt{a^2+b^2}.$

Геометрический смысл вспомогательного угла

Часть III. Ключевые методы преобразований в уравнениях

Согласно пособиям для абитуриентов МГУ, любое нестандартное уравнение сводится к простейшим одним из следующих путей:

Группировка и разложение на множители. Перенеси все слагаемые в левую часть и найди общий множитель. На ОДЗ всего выражения уравнение вида $A \cdot B = 0$ равносильно совокупности: $A=0$ (при определённом $B$ ) или $B=0$ (при определённом $A$ ). Если оба множителя определены на всей рассматриваемой области, переход безусловно равносилен.
Сведение к однородному уравнению. Если все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень по синусу и косинусу, уравнение делится на $\cos^n x$ (или $\sin^n x$ ). Предварительно обязательно доказывается, что $\cos x \neq 0$ (см. блок ошибок).
Преобразование сумм в произведения. Используется, когда аргументы кратны (например, $x, 3x, 5x, 7x$ ). Формулы $\sin\alpha \pm \sin\beta$ и $\cos\alpha \pm \cos\beta$ позволяют получить общие множители.
Замена связки $t = \sin x \pm \cos x$ . Если в уравнении есть и сумма (разность) $\sin x \pm \cos x$ , и произведение $\sin x\cos x$ , вводи замену $t$ ; произведение выражается через $t^2$ , а ограничение $|t| \leqslant \sqrt2$ отсекает лишние корни.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения сложного уравнения

Выпиши ОДЗ (знаменатели $\neq 0$ , подкоренные выражения $\geqslant 0$ , аргументы тангенсов $\neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ , аргументы логарифмов $> 0$ ).
Приведи к одним аргументам. Раскрой двойные и тройные углы, используй формулы приведения.
Сверни ФСУ. Ищи скрытые полные квадраты, разности квадратов или суммы кубов.
Разложи на множители или примени специфический метод (однородное уравнение, вспомогательный аргумент, замена $t$ ).
Отбери корни. Вычеркни серии, не удовлетворяющие ОДЗ или дополнительным условиям (например, при раскрытии модуля) — письменно, перебором чётных/нечётных или подстановкой.

Примеры решения тригонометрических уравнений

Разберём задачи, комбинирующие алгебру и тригонометрию, от базовых идей к уровню ДВИ.

Пример 1: Алгебраические блоки в тригонометрии

Реши уравнение: $\sin^4 x + \cos^4 x = \dfrac{5}{8}$ .

Пример 2: Кубы, группировка и формулы двойного угла

Реши уравнение: $\dfrac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x} = \cos 2x$ .

Находим ОДЗ

Знаменатель не равен нулю: $1 - \sin x \cos x \neq 0$ . Так как $\sin x \cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x$ , а $-1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1$ , имеем

\frac{1}{2} \leqslant 1 - \frac{1}{2}\sin 2x \leqslant \frac{3}{2}.

В частности знаменатель $\geqslant \dfrac12 > 0$ при всех $x$ . Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль (лежит в отрезке $\left[\dfrac{1}{2};\, \dfrac{3}{2}\right]$ ). ОДЗ: $x \in \RR$ .

Преобразуем числитель

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ :

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)

По основному тригонометрическому тождеству вторая скобка равна $1 - \sin x \cos x$ .

Упрощаем уравнение

Подставим разложенный числитель:

\frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} = \cos 2x

Сокращаем дробь (знаменатель не ноль):

\sin x + \cos x = \cos 2x

Раскладываем на множители

Применим формулу разности квадратов к правой части:

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)(\sin x + \cos x) = 0

(\sin x + \cos x)(1 - \cos x + \sin x) = 0

Решаем совокупность

Случай 1: $\sin x + \cos x = 0$ . Это однородное уравнение первой степени. Разделим на $\cos x$ (если $\cos x = 0$ , то и $\sin x = 0$ , что невозможно). Получаем $\tg x + 1 = 0 \implies x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \ZZ$ .

Случай 2: $1 - \cos x + \sin x = 0 \iff \sin x - \cos x = -1$ . Применим метод вспомогательного аргумента, разделив обе части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ :

\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}

\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Отсюда получаем две серии решений:

$x - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, \quad k \in \ZZ$ .
$x - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \implies x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \ZZ$ .

Пример 3: Замена

t = \sin x + \cos x

Реши уравнение: $\sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1$ .

Вводим замену

Это эталонная ситуация для замены: в уравнении есть и сумма $\sin x + \cos x$ , и произведение $\sin x\cos x$ . Положим $t = \sin x + \cos x$ . Возведём в квадрат:

t^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x\cos x \implies \sin x\cos x = \frac{t^2 - 1}{2}.

Ограничение. $t = \sin x + \cos x = \sqrt2\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ , поэтому $|t| \leqslant \sqrt2$ .

Решаем уравнение относительно $t$

Подставляем:

t + \frac{t^2 - 1}{2} = 1 \iff 2t + t^2 - 1 = 2 \iff t^2 + 2t - 3 = 0.

Корни $t = 1$ и $t = -3$ . Условие $|t| \leqslant \sqrt2 \approx 1{,}41$ оставляет только $t = 1$ (корень $t=-3$ отбрасываем — посторонний).

Обратная замена

$\sin x + \cos x = 1$ , то есть $\sqrt2\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ :

\sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}.

x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \ZZ.

Разберём по чётности $n$ :

$n = 2k$ : $\ x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k.$
$n = 2k+1$ : $\ x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k.$

Проверка

Быстрая подстановка: $x = 0$ даёт $0 + 1 + 0 = 1$ — верно; $x = \dfrac{\pi}{2}$ даёт $1 + 0 + 0 = 1$ — верно.

Пример 4: Модуль и отбор корней (уровень ДВИ)

Реши уравнение: $\sin x + \sqrt{3}\cos x = \sqrt{2 - 2\cos 2x}$ .

Преобразуем правую часть

Используем формулу понижения степени: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ . Тогда под корнем: $2 - 2\cos 2x = 2(1 - \cos 2x) = 4\sin^2 x$ . Извлекаем корень. Помни: $\sqrt{A^2} = |A|$ .

\sqrt{4\sin^2 x} = 2|\sin x|

Преобразуем левую часть

Применим метод вспомогательного аргумента:

\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

Решаем уравнение с модулем

Получаем уравнение:

2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2|\sin x| \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = |\sin x|

Раскроем модуль по определению.

Случай 1: $\sin x \geqslant 0$ . Модуль раскрывается с плюсом.

\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin x = 0

Преобразуем разность синусов в произведение:

2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0

x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \ZZ

Теперь проверим условие $\sin x \geqslant 0$ . При чётном $n=2k$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \implies \sin x > 0$ (подходит). При нечётном $n=2k+1$ : $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \implies \sin x < 0$ (не подходит). Итог первого случая: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ$ .

Случай 2: $\sin x < 0$ . Модуль раскрывается с минусом.

\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin x \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin x = 0

Преобразуем сумму синусов в произведение:

2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} = 0 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0

x + \frac{\pi}{6} = \pi m \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \ZZ

Проверим условие $\sin x < 0$ . При чётном $m=2p$ : $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi p \implies \sin x < 0$ (подходит). При нечётном $m=2p+1$ : $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi p \implies \sin x > 0$ (не подходит). Итог второго случая: $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi p, \quad p \in \ZZ$ .

Отбор корней на тригонометрической окружности

Часть IV. Доказательство тождеств и преобразование при ограничениях

На ДВИ встречаются задания не только «реши уравнение», но и «упрости», «докажи тождество». Жанр доказательства тождества требует особой аккуратности: преобразуют одну часть к другой (или обе к общему виду), сохраняя равносильность и явно указывая ОДЗ.

Пример B1: доказательство тождества

Докажите тождество: $\dfrac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} = \tg x$ при $\cos x \neq 0$ и $1 + \cos 2x + \sin 2x \neq 0$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованное деление в однородных уравнениях

Ошибка: В уравнении $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$ сразу разделить всё на $\cos^2 x$ . Правильно: Сначала напиши фразу: «Если $\cos x = 0$ , то из уравнения следует $a\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$ . Но $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \neq 0$ . Противоречие. Значит, $\cos x \neq 0$ , и мы имеем право разделить обе части на $\cos^2 x$ ». На ДВИ за отсутствие этого доказательства снижают балл.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Алгебраические ошибки: расширение и сужение ОДЗ

Ошибка 1 — расширение ОДЗ логарифмом. Замена $\log_a(bc)$ на $\log_a b + \log_a c$ без условия $b,c > 0$ (или $\log_a x^2$ на $2\log_a x$ вместо $2\log_a|x|$ ) добавляет посторонние корни. Правильно: следить за знаками и при чётной степени ставить модуль. Ошибка 2 — посторонние корни при возведении в квадрат. $\sqrt{f} = g$ нельзя просто «возвести в квадрат»: переход неравносилен. Правильно: перейти к системе $\{f = g^2,\ g \geqslant 0\}$ или сделать проверку найденных корней подстановкой. Ошибка 3 — деление на ноль. Сокращение на множитель $(x - a)$ или деление обеих частей на выражение, которое может обратиться в ноль, теряет корни. Правильно: случай «делитель $=0$ » разбирать отдельно.

Что запомнить

Связка $\sin x \pm \cos x$ и $\sin x \cos x$ . Если в уравнении есть и сумма, и произведение синуса с косинусом, вводи замену $t = \sin x \pm \cos x$ . При этом возведение в квадрат даёт $t^2 = 1 \pm 2\sin x \cos x$ , откуда выражается произведение. Обязательно укажи, что $|t| \leqslant \sqrt{2}$ (см. разобранный Пример 3). Алгебраический аналог — замена $t = x + \tfrac1x$ с $|t| \geqslant 2$ (Пример A8).
Базовые ФСУ — в обе стороны. $(a\pm b)^2$ , $(a\pm b)^3$ , $a^2-b^2$ , $a^3\pm b^3$ должны узнаваться мгновенно; разность квадратов $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ часто «прячут» в произведении $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$ .
Блоки высоких степеней — выводить. Формулы для $\sin^4 x + \cos^4 x$ и $\sin^6 x + \cos^6 x$ получаются за 10 секунд через $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ и сумму кубов (вывод показан в Части II). На ДВИ без листа формул их применение без вывода рискованно.
Алгебра до тригонометрии. Громоздкая дробь, иррациональность или цепочка логарифмов часто решаются чисто алгебраически (рационализация, сокращение, смена основания) — и только потом подключается тригонометрия.
ОДЗ — первая строка решения, а не сноска. Каждое преобразование проверяй на равносильность: не расширилось ли ОДЗ (логарифм, возведение в квадрат), не сузилось ли (сокращение дроби, деление).

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важно не только верный ответ, но и полнота обоснований. Лист формул не выдают, поэтому каждое нетабличное тождество либо выводится, либо применяется со ссылкой на стандартную формулу.

СОВЕТ

Эталон полного решения

ОДЗ — отдельной строкой в начале. Выпиши все ограничения (знаменатели, корни, логарифмы, тангенсы) до преобразований.
Каждый нестандартный переход — с обоснованием. «Делим на $\cos x$ , так как…», «возводим в квадрат, контролируя знак правой части», «свёртка логарифмов законна, так как аргументы положительны».
Блочные формулы — с выводом (хотя бы кратким), если они не входят в школьный минимум.
Отбор корней — письменно. Перебор чётности $n$ или подстановка в неравенство/ОДЗ. Просто зачеркнуть точку на круге без пояснения — недостаточно.
Ответ — в явном виде, со всеми сериями и указанием $n,k,m \in \ZZ$ (или ОДЗ для тождеств/упрощений).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (балл, а не весь пункт)

Нет ОДЗ / не учтено при отборе корней. Самая частая потеря.
Потерян модуль при $\sqrt{A^2}$ или при $\log_a x^{2k}$ .
Необоснованное деление на $\cos x$ , на $x$ , на множитель $(x-a)$ — без разбора случая « $=0$ ».
Посторонние корни после возведения в квадрат без проверки/системы.
Использована невыведенная формула, не входящая в стандартный минимум (например, блок $\sin^6 x + \cos^6 x$ без вывода).
Не доведён отбор корней до явного перечня серий; ответ «на круге» вместо аналитического.

СОВЕТ

Стратегия экзаменационной тактики

Следи за равносильностью. Проверяющие особо смотрят, не расширилось ли ОДЗ при преобразованиях (замена суммы логарифмов на логарифм произведения, возведение в квадрат иррационального уравнения).
Отбор корней — письменно и подробно. Если при раскрытии модуля или проверке ОДЗ нужно откинуть часть серии $x = \alpha + \pi n$ , делай это перебором чётных/нечётных $n$ (как в Примерах 3 и 4) или строгой подстановкой в неравенство.
Вспомогательный аргумент вместо квадрата. Если видишь уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ , где $a, b, c$ — числа, не возводи его в квадрат (это даст посторонние корни, которые тяжело отсеивать). Используй введение вспомогательного угла.
Алгебру упрощай раньше тригонометрии. Сначала рационализируй, сократи, приведи логарифмы к одному основанию — нередко уравнение «схлопывается» ещё до тригонометрических формул.

Проверь себя

Чему равно $\sin^4 x + \cos^4 x$ ?
Чему равно $\sqrt{a^2}$ для любого вещественного $a$ ?
При замене $t = x + \dfrac{1}{x}$ (для вещественных $x \neq 0$ ) какое ограничение на $t$ ?
Вычисли $\log_2 6 \cdot \log_6 8$ .

Алгебраические преобразования

Суть темы: тождественные преобразования на ДВИ

Часть I. Алгебраические преобразования

1.1. Формулы сокращённого умножения — рабочий инструмент

Выделяем скрытую разность квадратов

Сокращаем дробь

1.2. Рациональные дроби

Находим ОДЗ

Упрощаем скобку

Выполняем деление

1.3. Степени и корни. Иррациональности

Домножаем на сопряжённое

Сворачиваем в полный квадрат

Извлекаем корень через модуль

1.4. Логарифмы

Сводим к одному основанию

Переворачиваем логарифмы

1.5. Многочлены: деление, теорема Безу, схема Горнера

Подбираем корень

Делим схемой Горнера

Раскладываем квадратный трёхчлен

1.6. Квадратный трёхчлен и симметрические выражения

Делим на x2x^2x2

Вводим замену

Обратная замена

Часть II. Мост к тригонометрии: ФСУ внутри тождеств

Мини-свод тригонометрических формул, используемых дальше

Часть III. Ключевые методы преобразований в уравнениях

Примеры решения тригонометрических уравнений

Применяем блочную формулу

Понижаем степень

Решаем простейшее уравнение

Находим ОДЗ

Преобразуем числитель

Упрощаем уравнение

Раскладываем на множители

Решаем совокупность

Вводим замену

Решаем уравнение относительно ttt

Обратная замена

Проверка

Преобразуем правую часть

Преобразуем левую часть

Решаем уравнение с модулем

Часть IV. Доказательство тождеств и преобразование при ограничениях

Фиксируем ОДЗ и формулы двойного угла

Раскладываем числитель и знаменатель

Сокращаем и получаем тангенс

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Делим на $x^2$

Решаем уравнение относительно $t$