Показательные уравнения

Приводим к одному основанию

Представь правую часть как степень того же основания: $125 = 5^3$. Уравнение принимает вид

Приравниваем показатели

Основание $5 > 0$, $5 \neq 1$, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей:

По теореме Виета корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$ (сумма $2$, произведение $-3$).

Убеждаемся в равносильности

Проверка не требуется: переход $a^{g(x)} = a^{h(x)} \iff g(x) = h(x)$ равносилен, посторонних корней не возникает.

Выносим общий множитель

Все слагаемые в левой части имеют одну базу $3$. Раскрой первое слагаемое: $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$. Тогда

Решаем простейшее уравнение

Делим на $4$:

Замечаем связь между основаниями

Заметь связь между основаниями. Умножим их друг на друга (разность квадратов):

Отсюда $\left(3 - 2\sqrt{2}\right) = \dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Следовательно, $\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^x = \dfrac{1}{\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^x}$.

Вводим замену и решаем квадратное

Пусть $t = \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^x$, причём $t > 0$. Уравнение принимает вид:

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не подходит условию $t > 0$.

Возвращаемся к переменной $x$

Возвращаемся к $x$. По формуле перехода к логарифму ($a^x = b \iff x = \log_a b$ при $b > 0$):

Приводим к однородному виду и делим

Представь все основания как степени простых чисел: $16 = 4^2$, $81 = 9^2$, $36 = 4 \cdot 9$. Перепиши уравнение, собрав всё в одной части:

Это классическое однородное уравнение второй степени. Раздели обе части на $9^{2x}$. Деление законно и не приводит к потере корней, потому что $9^{2x} > 0$ при любых $x$ (это обязательно надо проговорить — см. предупреждение про деление ниже):

Делаем замену и решаем квадратное

Сделай замену $t = \left(\dfrac{4}{9}\right)^x$, $t > 0$:

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = \dfrac{2}{3}$. Оба положительны.

Возвращаемся к $x$

Возвращайся к $x$:

1. $\left(\dfrac{4}{9}\right)^x = 1 \iff x = 0.$
2. $\left(\dfrac{4}{9}\right)^x = \dfrac{2}{3}$. Заметь, что $\dfrac{4}{9} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2$, поэтому:
   $$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \iff 2x = 1 \iff x = \frac{1}{2}.$$

Фиксируем ОДЗ

Сразу выпиши ОДЗ: в показателе есть дробь $\dfrac{x-1}{x}$, значит $x \neq 0$.

Логарифмируем обе части

Основания $5$ и $8$ к общему основанию не сводятся, замена не помогает — здесь работает логарифмирование. Обе части строго положительны (показательные выражения $>0$, $500>0$), поэтому логарифмировать можно равносильно. Прологарифмируем по натуральному основанию (можно по любому):

Разложим: $8 = 2^3$, $500 = 4 \cdot 125 = 2^2 \cdot 5^3$. По свойствам логарифма

Группируем и выносим общий множитель

Перенесём всё влево и сгруппируем по $\ln 5$ и $\ln 2$:

Упростим коэффициент при $\ln 2$:

Теперь общий множитель $(x-3)$ выносится:

Разбираем случаи и проверяем

Отсюда два случая.

1. $x - 3 = 0 \iff x = 3$ (удовлетворяет ОДЗ $x \neq 0$).
2. $\ln 5 + \dfrac{\ln 2}{x} = 0 \iff \dfrac{\ln 2}{x} = -\ln 5 \iff x = -\dfrac{\ln 2}{\ln 5} = -\log_5 2$ (тоже $\neq 0$).

Проверка $x=3$: $5^3 \cdot 8^{2/3} = 125 \cdot 4 = 500$ — верно.

Делим на $5^x$

Заменой это уравнение не берётся: три разных основания. Применим метод оценки. Так как $5^x > 0$ при любых $x$, разделим обе части на $5^x$:

Доказываем строгую монотонность

Обозначим левую часть $\varphi(x) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^x + \left(\dfrac{4}{5}\right)^x$. Оба слагаемых — показательные функции с основаниями $\dfrac{3}{5} < 1$ и $\dfrac{4}{5} < 1$, значит каждая из них строго убывает. Сумма строго убывающих функций строго убывает, поэтому $\varphi(x)$ строго убывает на всей оси.

Подбираем корень и обосновываем единственность

Строго убывающая функция каждое своё значение принимает не более одного раза, поэтому уравнение $\varphi(x) = 1$ имеет не более одного корня. Подбором находим: при $x = 2$

Значит $x = 2$ — корень, и в силу строгой монотонности он единственный.

(Геометрически: график $\varphi(x)$ пересекает горизонталь $y=1$ ровно один раз — см. иллюстрацию к разделу «Основные методы»: возрастающая и убывающая/постоянная функции пересекаются максимум в одной точке.)

Определяем тип уравнения и ОДЗ

Уравнение имеет вид $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$, где $f(x) = |x - 2|$. Для корректности функции необходимо выполнение условия $f(x) > 0$, то есть $|x - 2| > 0 \implies x \neq 2$.

Случай 1: основание равно $1$

Уравнение равносильно совокупности двух случаев:

1. Основание равно $1$:
   $$|x - 2| = 1 \iff x - 2 = 1 \text{ или } x - 2 = -1.$$
   Отсюда получаем корни $x = 3$ и $x = 1$. Оба удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).

Случай 2: показатели равны

2. Основание больше нуля, а показатели равны:
   $$\begin{cases} x^2 - x = 2 \\ |x - 2| > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 - x - 2 = 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$$
   Корни квадратного уравнения: $x = 2$ и $x = -1$. Корень $x = 2$ отбрасывается по ОДЗ (основание превращается в ноль, а выражение $0^0$ не определено). Остаётся $x = -1$.

Объединяем решения

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Приравниваем показатели

Основание $\dfrac{1}{3} \in (0; 1)$, $\dfrac{1}{3} \neq 1$. Для уравнения знак переход не переворачивает — приравниваем показатели как обычно:

Проверяем и запоминаем ловушку

Проверка $x=-1$: слева $\left(\frac13\right)^1=\frac13$, справа $\left(\frac13\right)^{1}=\frac13$ — совпало.

Важно: если бы вместо «$=$» стоял знак «$\geqslant$», то из-за $0 < a < 1$ неравенство показателей перевернулось бы: $x^2 \leqslant 2x + 3$. Запомни это для перехода к показательным неравенствам.