Часть 1, задание 9: Текстовые задачи

Переводим проценты в множители

Пусть доход до сентября равен $D$. Рост на $20\%$ — умножение на $1{,}2$, дальнейший рост на $15\%$ — умножение на $1{,}15$.

Перемножаем

Ключ здесь в слове «ещё»: второй процент считается от нового дохода $1{,}2D$, а не от исходного $D$. Именно поэтому множители перемножаются.

Возвращаемся к процентам

Почему не 35

Сложение $20+15$ молча предполагает, что база у обоих процентов одна и та же. Разница $38-35=3$ — это ровно $15\%$ от прироста первого месяца: $0{,}15\cdot0{,}2=0{,}03$.

Записываем первое условие

«$A$ меньше $B$ на $90\%$» — база здесь $B$:

Разворачиваем

Второй вопрос — с другой базой

«На сколько процентов $B$ больше $A$» — теперь база $A$:

Проверка на числах

Пусть $B=100$, тогда $A=10$. Ответ $90\%$ не проходит проверку сразу: $10$ плюс $90\%$ от $10$ даёт $19$, а не $100$. А $10$ плюс $900\%$ от $10$ — это $10+90=100$. Сошлось.

Что зафиксировано

Неизменна сумма денег, а $\text{цена}\times\text{количество}$ — это она и есть.

Новая цена

Количество меняется обратно пропорционально

Цена умножилась на $\frac34$, значит количество умножается на $\frac43$:

Проверка

Пусть килограмм стоил $100$ рублей: на $4{,}5$ кг ушло $450$ рублей. Новая цена $75$ рублей, и $450:75=6$ кг. Обрати внимание: количество выросло на $33\frac13\%$, а не на $25\%$ — базы у этих процентов разные.

Что сохраняется при сушке

Испаряется вода. Сухое вещество никуда не девается — баланс пишем по нему.

Доли сухого вещества

В траве $1-0{,}6=0{,}4$, в сене $1-0{,}2=0{,}8$.

Уравнение

Пусть скосили $m$ тонн травы. Сухого вещества в ней $0{,}4m$, а в одной тонне сена его $0{,}8\cdot1=0{,}8$:

Проверка по массам

$2$ тонны травы — это $0{,}8$ т сухого вещества и $1{,}2$ т воды. Испарилась ровно $1$ тонна воды, осталось $0{,}8$ т сухого и $0{,}2$ т воды — итого $1$ тонна массой с влажностью $20\%$. Это и есть сено из условия.

Вводим путь, а не время

Пусть весь путь равен $2s$ — тогда каждая половина равна $s$, и дроби выйдут аккуратными.

Считаем время

Делим путь на время

Буква $s$ сократилась — так и должно быть: ответ не может зависеть от длины трассы.

Сверка с формулой

Для равных по длине участков $v_{\text{ср}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2\cdot75\cdot150}{225}=100$. Полусумма дала бы $112{,}5$ — больше правильного ответа, потому что на медленной половине автомобиль провёл вдвое больше времени, чем на быстрой.