Часть 1, задание 7: Прогрессии

Содержание

Задание 7 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 7 базовой части ДВИ

Седьмое задание базовой части — прогрессии, арифметическая и геометрическая. Итог — одно число.

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

Главный факт про слот: ни в одной из восьми задач не нужно находить $b_1$ и $q$ (или $a_1$ и $d$ ) по отдельности. Всё, что спрашивают, выражается через данные напрямую — через свойство среднего члена. Кто идёт через систему двух уравнений, приходит к тому же ответу втрое длиннее и с втрое большим числом мест, где можно ошибиться. А в одной задаче слота (18672) система вообще неразрешима: прогрессий с таким условием бесконечно много, а ответ у всех один и тот же.

Второй факт, на котором ломается больше всего решений: знаменатель геометрической прогрессии может быть отрицательным. В трёх задачах из этого прямо сделан вопрос — кандидатов на ответ получается два, и в условии дописано, какой брать.

СОВЕТ

Хвост условия — это половина задачи

«Если ответов несколько, то напишите наименьшее значение» (18588, 18603), «напишите наибольшее значение» (18618), «в возрастающей геометрической прогрессии» (20999) — это не вежливость составителя, а инструкция по отбору корня.

В двух задачах из четырёх правильный ответ отрицателен ( $-16$ и $-18$ ) именно потому, что просили наименьшее: положительный кандидат существует, отвечает настоящей прогрессии и как значение члена совершенно верен — но в ответ идёт не он. В 18618 просят наибольшее, и там в ответ идёт как раз положительный $\frac32$ .

Какие темы встречаются

Разбор всех 8 задач слота даёт три сюжета, и все три опираются на одно и то же свойство среднего члена.

Средний член геометрической прогрессии между двумя данными — 4 задачи из 8 (18588, 18603, 18618, 20999). Схема одна: даны два члена, ровно посередине между ними — искомый. Работает $b_n^2=b_{n-k}b_{n+k}$ , корень выходит с двумя знаками, лишний отсекает хвост условия.
Свойство среднего члена арифметической прогрессии — 2 задачи из 8 (18657, 18672). В одной ищут член, равноудалённый от двух данных, в другой — сумму девяти членов через пятый.
Три числа в прогрессии плюс симметрические условия — 2 задачи из 8 (18635 — геометрическая, 18684 — арифметическая). Здесь свойство прогрессии даёт лишь одно уравнение из трёх, а дальше работают тождества вида $(a+c)^2=a^2+2ac+c^2$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет

Нет бесконечно убывающей геометрической прогрессии и её суммы. Нет задач на количество членов — ни «найдите $n$ », ни «сколько членов надо взять, чтобы сумма превысила». Нет сюжетов, где одни и те же числа образуют сразу и арифметическую, и геометрическую прогрессию. Нет текстовых задач про вклады и выплаты: проценты живут в соседнем слоте, задании 9.

Формула суммы $S_n$ в развёрнутом виде через $a_1$ и $d$ не понадобилась ни разу. Единственная задача на сумму (18672) решается короче — через средний член.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Всё, что ниже, надо уметь воспроизвести по памяти.

ВАЖНОЕ

Арифметическая прогрессия

a_n=a_1+(n-1)d,\qquad a_n=a_m+(n-m)d,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

Свойство среднего члена: каждый член равен среднему арифметическому двух равноудалённых от него,

a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2},\qquad\text{то есть}\qquad 2a_n=a_{n-k}+a_{n+k}.

Отсюда следствие для нечётного числа слагаемых: сумма $2m+1$ подряд идущих членов равна количеству, умноженному на средний член,

S_{2m+1}=(2m+1)\cdot a_{m+1}.

В частности $S_9=9a_5$ , и задача 18672 закрывается одной строкой.

ВАЖНОЕ

Когда знаков два, а когда один

Из $b_n^2=b_{n-k}b_{n+k}$ следует $b_n=\pm\sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}$ , но достижимы не всегда оба знака. Решает чётность шага $k$ , потому что $b_n=b_{n-k}\cdot q^{\,k}$ :

$k$ нечётно (например $k=1$ — соседние члены). Множитель $q^{\,k}$ меняет знак вместе с $q$ , поэтому годятся оба знака. Так устроены задачи 18588, 18603, 18618 — и потому у каждой есть хвост «наименьшее» или «наибольшее».
$k$ чётно (например $k=2$ — через один). Тогда $q^{\,k}=\left(q^{\,k/2}\right)^2>0$ , и знак $b_n$ совпадает со знаком $b_{n-k}$ : он определён однозначно, безо всяких дополнительных условий. Так устроена задача 20999.

[!] Знаменатель $q$ обязан быть отличен от нуля, но отрицательным быть имеет право. «Прогрессии с отрицательным знаменателем не бывает» — выдумка: такая прогрессия просто чередует знаки, например $\frac12,\ -\frac32,\ \frac92,\ -\frac{27}{2},\ \dots$

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18588

В геометрической прогрессии третий член равен $4$ , а пятый равен $64$ . Найдите четвёртый член прогрессии. Если ответов несколько, напишите наименьшее значение четвёртого члена.

Пример 2. Задача 20999

В возрастающей геометрической прогрессии восьмой член равен $6$ , а двенадцатый равен $24$ . Найдите десятый член прогрессии.

Пример 3. Задача 18672

Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если пятый член равен $5$ .

Пример 4. Задача 18635

Три числа $a$ , $b$ , $c$ в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Известно, что $a+c=10$ и $a^2+b^2+c^2=84$ . Найдите $ac$ .

Пример 5. Задача 18684

Три числа $a$ , $b$ , $c$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что $a+b+c=0$ и $a^2+b^2+c^2=18$ . Найдите $a^4+b^4+c^4$ .

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Решение через систему на

b_1

q

Ошибка: из $b_3=4$ , $b_5=64$ составлять систему $b_1q^2=4$ , $b_1q^4=64$ , находить $q=\pm4$ , затем $b_1=\frac14$ , затем $b_4=b_1q^3$ . Правильно: по существу это не ошибка, ответ выйдет тот же. Но путь втрое длиннее и даёт втрое больше шансов ошибиться в знаке. Свойство $b_4^2=b_3b_5$ закрывает задачу в одну строку — а в задаче 18672 система и вовсе неразрешима, тогда как ответ определён однозначно.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Определил тип прогрессии? Арифметическая — среднее через полусумму, геометрическая — через произведение.
Проверил, что данные члены равноудалены от искомого? Шаг обязан быть одинаковым в обе стороны.
Не полез искать $a_1$ , $d$ , $b_1$ , $q$ по отдельности? В этом слоте они не нужны ни разу.
Извлекая квадратный корень, выписал оба знака?
Посмотрел на чётность шага $k$ ? Чётный — знак определён однозначно; нечётный — оба варианта живые.
Дочитал условие до конца? «Наименьшее», «наибольшее», «возрастающая» — это отбор ответа.
Для суммы нечётного числа членов вспомнил про средний? $S_9=9a_5$ короче любой формулы через $a_1$ и $d$ .
В задачах с тремя числами перевёл слово «прогрессия» в уравнение? $b^2=ac$ или $a+c=2b$ — именно это превращает условие в решаемую систему.
Проверил, что найденный набор чисел существует? Приведи конкретную прогрессию — это одна строка и надёжная страховка.
Записал ход, а не только число? Работа письменная: свойство, из которого всё выведено, должно быть названо.

Проверь себя

В геометрической прогрессии $b_2=6$ и $b_4=54$ . Чему равен $b_3$ , если просят наименьшее значение?
Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?
В геометрической прогрессии $a_8=6$ и $a_{12}=24$ . Сколько значений может принимать $a_{10}$ ?
Известно только, что $a_5=5$ . Чему равна сумма первых девяти членов арифметической прогрессии?

Часть 1, задание 7: Прогрессии

Задание 7 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Свойство среднего члена

Оба знака достижимы

Читаем хвост условия

То же свойство, но шаг вдвое больше

Знак определяется без слова «возрастающая»

Что тогда даёт условие возрастания

Данных как будто не хватает

Складываем «с краёв»

Считаем

Переводим слово «прогрессия» в уравнение

Возводим первое условие в квадрат

Подставляем второе

Проверяем, что такая прогрессия существует

Свойство прогрессии обнуляет средний член

Второе условие даёт квадрат

Собираем ответ

Типичные ошибки

Чек-лист