Часть 1, задание 2: Планиметрия

Содержание

Задание 2 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 2 базовой части ДВИ

Второе задание базовой части — планиметрия. Тебе дают фигуру, описанную словами, и просят одно число: длину, периметр, площадь, радиус или угол в градусах.

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и число в итоге должно быть получено обоснованным ходом — с чертежом, названными теоремами и проверенными условиями их применения.

Главное отличие от ЕГЭ — чертежа нет ни в одной из 15 задач банка. Условие всегда чистый текст: «в равнобедренном треугольнике основание равно 18, а высота, проведённая к основанию, равна 12». Поэтому первый шаг решения всегда один и тот же — построить фигуру самому и вынести на неё все данные. Половина ошибок в этом номере делается ещё до первой формулы, на кривом чертеже.

Второе отличие — задачи короткие по идее, но почти никогда не одноходовые. Типичная структура: сначала находишь вспомогательную величину (третий угол, высоту, боковую сторону, среднюю линию), и только потом — то, что просят.

СОВЕТ

Пифагоровы тройки экономят половину времени

В 5 задачах из 15 прямоугольный треугольник оказывается подобным «египетскому» $3\text{–}4\text{–}5$ или тройке $5\text{–}12\text{–}13$ :

12\text{–}16\text{–}20 \ (18591), \quad 9\text{–}12\text{–}15 \ (18606), \quad 5\text{–}12\text{–}13 \ (18621), \quad 3\text{–}4\text{–}5 \ (20717), \quad 30\text{–}40\text{–}50 \ (20724).

Это не случайность: числа подбираются так, чтобы корень извлекался нацело. Польза двойная — считаешь быстрее и получаешь контроль: неизвлекаемый корень часто означает ошибку в чертеже или в том, какую сторону ты назвал гипотенузой. Но обратное правило тоже помни: неизвлекаемый корень не запрещён (в задаче 18714 честно получается $d=2\sqrt{10}$ ).

Какие темы встречаются

15 задач слота распадаются на семь сюжетов, причём четыре из них идут ровно по три задачи — это ядро номера.

Угол между высотами треугольника — 3 задачи из 15 (18586, 18601, 18616). Схема одна: даны два угла, найти угол (иногда именно острый) между двумя высотами.
Равнобедренный треугольник и высота к основанию — 3 задачи из 15 (18591, 18606, 18621). Даны две величины из набора «боковая сторона, основание, высота, площадь», найти периметр.
Отношения площадей — 3 задачи из 15 (18637, 18668, 18688). Площадь части известна, ищут площадь целого: параллелограмм с точкой на диагонали, треугольник со средней линией, трапеция с отношением оснований.
Трапеция — 3 задачи из 15 (18653, 18711, 20717). Средняя линия, вписанная окружность, отрезок между серединами диагоналей.
Ромб через диагонали — 1 задача из 15 (18714).
Прямоугольный треугольник: проекции катетов на гипотенузу — 1 задача из 15 (20724).
Описанная окружность и теорема синусов — 1 задача из 15 (20998).

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Формулы ниже покрывают все 15 задач слота.

ВАЖНОЕ

Угол между высотами треугольника

Сумма углов: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ .

Высота $AA_1$ перпендикулярна стороне $BC$ , высота $BB_1$ — стороне $AC$ . Углы между двумя прямыми и между перпендикулярами к ним равны, поэтому угол между высотами $AA_1$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $BC$ и $AC$ , то есть углу при третьей вершине:

\angle\left(AA_1,\, BB_1\right) = \angle C \quad\text{или}\quad 180^\circ - \angle C.

Если просят острый угол, берётся меньшее из двух: сам $\angle C$ , когда он острый, и смежный $180^\circ - \angle C$ , когда тупой.

Мнемоника: высоты из $A$ и $B$ — смотри на угол $C$ . В 18601 высоты из $A$ и $C$ дают $\angle B = 75^\circ$ , в 18586 высоты из $B$ и $C$ дают $\angle A = 90^\circ$ .

ВАЖНОЕ

Площадь и отношения площадей

S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\,a\,h_a.

Два рабочих следствия, на которых стоит весь третий сюжет слота:

Общая высота. Если у двух треугольников общая высота, их площади относятся как основания. Точка $K$ на диагонали $BD$ с $BK:BD = 2:5$ даёт $S_{ABK}:S_{ABD} = 2:5$ (задача 18637).
Подобие. Если фигуры подобны с коэффициентом $k$ , площади относятся как $k^2$ . Средняя линия отсекает треугольник с $k=\frac12$ , то есть с площадью $\frac14$ от исходной.

Плюс два факта о четырёхугольниках: диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, а средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

ВАЖНОЕ

Трапеция

Для оснований $a$ (меньшее) и $b$ (большее), боковых сторон $c$ и $d$ , высоты $h$ :

m = \dfrac{a+b}{2} \ \text{(средняя линия)}, \qquad S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h, \qquad MN = \dfrac{b-a}{2} \ \text{(между серединами диагоналей)}.

[!] Средняя линия и отрезок между серединами диагоналей — разные отрезки: полусумма против полуразности.

Равнобедренная трапеция. Высота, опущенная из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки

\dfrac{b-a}{2} \quad\text{и}\quad \dfrac{b+a}{2},

а первый из них — это проекция боковой стороны, катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ и вторым катетом $h$ .

Вписанная окружность. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: $a + b = c + d$ . Для равнобедренной трапеции ( $c=d$ ) это даёт $c = \dfrac{a+b}{2}$ — боковая сторона равна средней линии.

ВАЖНОЕ

Ромб и прямоугольный треугольник

Ромб со стороной $t$ и диагоналями $d_1$ , $d_2$ : диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = t^2, \qquad S = \dfrac{d_1 d_2}{2}.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Если $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу $c$ , а $h$ — высота к гипотенузе, то

a^2 = c\cdot a_c, \qquad b^2 = c \cdot b_c, \qquad h^2 = a_c \cdot b_c.

Первое соотношение и решает задачу 20724: при катете $40$ и проекции второго катета $18$ получаем $b^2 = 18c$ , и Пифагор даёт $c^2 - 18c - 1600 = 0$ , откуда $c = 50$ .

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18616

В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle A = 27^\circ$ , $\angle B = 41^\circ$ . Найдите острый угол между высотами $AA_1$ и $BB_1$ .

Пример 2. Задача 18621

В равнобедренном треугольнике основание равно $10$ , а площадь равна $60$ . Найдите периметр треугольника.

Пример 3. Задача 18637

В параллелограмме $ABCD$ точка $K$ делит диагональ $BD$ в отношении $2 : 3$ , считая от вершины $B$ . Площадь треугольника $ABK$ равна $6$ . Найдите площадь параллелограмма.

Пример 4. Задача 18711

Одна из сторон треугольника равна $24$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины медиан, проведённых к двум другим сторонам этого треугольника.

Пример 5. Задача 20717

В равнобедренную трапецию с основаниями $2$ и $8$ вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Угол между высотами — не тот угол

Ошибка: решить, что угол между высотами $AA_1$ и $BB_1$ равен $\angle A$ или $\angle B$ — раз уж высоты выходят из этих вершин. Правильно: высоты перпендикулярны противоположным сторонам, поэтому угол между ними задаёт третья вершина: высоты из $A$ и $B$ — угол $C$ . И второй слой той же ошибки: если третий угол тупой, а просят острый угол между высотами, ответом будет смежный, $180^\circ - \angle C$ . В банке есть обе версии — 18601 с острым $75^\circ$ и 18616 с тупым $112^\circ$ , где верный ответ $68^\circ$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Площади подобных фигур в первой степени

Ошибка: решить, что треугольник, отсечённый средней линией, вдвое меньше по площади. Правильно: при коэффициенте подобия $k$ площади относятся как $k^2$ . Средняя линия отсекает треугольник с $k = \dfrac12$ , то есть с площадью в 4 раза меньше. Тот же множитель $\dfrac14$ возникает и без подобия — когда вдвое уменьшаются и основание, и высота: в задаче 18668 у треугольника $PQC$ основание $QC = \dfrac12 BC$ , а высота из $P$ вдвое меньше высоты из $A$ , поэтому $S_{PQC} = \dfrac14 S_{ABC}$ , и из $S_{PQC} = 3$ следует $S_{ABC} = 12$ , а не $6$ .

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Нарисовал фигуру и вынес на неё все данные? Условие здесь всегда текстовое, и чертёж — часть решения, даже если его не сдают.
Не приписал фигуре лишних свойств? Нарисованный «на глаз» равнобедренным произвольный треугольник — источник неверных равенств.
Отношение перевёл в доли? $m : n$ — это части; доля от целого равна $\dfrac{m}{m+n}$ .
В равнобедренном треугольнике взял половину основания?
Для угла между высотами посмотрел на третью вершину? И проверил, острый ли получившийся угол, если просят острый.
В трапеции не перепутал полусумму с полуразностью? Средняя линия — $\dfrac{a+b}{2}$ , отрезок между серединами диагоналей — $\dfrac{b-a}{2}$ .
Для площадей подобных возвёл коэффициент в квадрат?
Проверил ответ на правдоподобие? Периметр больше любой стороны, площадь части меньше площади целого, острый угол меньше $90^\circ$ . И если корень внезапно перестал извлекаться — вернись к чертежу.

Проверь себя

В треугольнике $ABC$ проведены высоты из вершин $A$ и $B$ . Какому углу равен угол между ними?
Основания трапеции равны $8$ и $2$ . Чему равен отрезок, соединяющий середины её диагоналей?
Средняя линия отсекает от треугольника малый треугольник, подобный исходному. Во сколько раз его площадь меньше?
Точка $K$ делит отрезок $BD$ в отношении $2:3$ , считая от $B$ . Чему равно $BK : BD$ ?

Часть 1, задание 2: Планиметрия

Задание 2 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Высоты идут из $A$ и $B$ — значит, работает угол $C$

Считаем третий угол

Угол тупой — берём смежный

Из площади добываем высоту

Из высоты — боковую сторону

Складываем периметр

Переводим отношение в долю

Общая высота — площади как основания

Диагональ делит параллелограмм пополам

Расставляем обозначения на чертеже

Находим среднюю линию

Узнаём трапецию

Что даёт вписанная окружность

Высота через проекцию боковой стороны

Площадь

Типичные ошибки

Чек-лист

Часть 1, задание 2: Планиметрия

Задание 2 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Высоты идут из AAA и BBB — значит, работает угол CCC

Считаем третий угол

Угол тупой — берём смежный

Из площади добываем высоту

Из высоты — боковую сторону

Складываем периметр

Переводим отношение в долю

Общая высота — площади как основания

Диагональ делит параллелограмм пополам

Расставляем обозначения на чертеже

Находим среднюю линию

Узнаём трапецию

Что даёт вписанная окружность

Высота через проекцию боковой стороны

Площадь

Типичные ошибки

Чек-лист

Высоты идут из $A$ и $B$ — значит, работает угол $C$