Задачи с параметрами

Разбираем вырожденный случай

Сначала проверим случай $a = 1$. Уравнение принимает вид $-2x + 3 = 0 \implies x = 1{,}5$. Корень единственный, условие не выполняется. Значит, $a \neq 1$, и перед нами квадратное уравнение.

Записываем условие расположения корней

Пусть $f(x) = (a-1)x^2 - 2ax + a + 2$. Нам нужно, чтобы корни лежали по разные стороны от числа $M = 2$. Согласно теореме о расположении корней, это равносильно выполнению одного условия:

Вычислим $f(2)$:

Решаем неравенство

Составляем неравенство:

Решая методом интервалов, получаем $a \in (1;\, 2)$. Заметим, что дискриминант проверять не нужно: условие $(a-1)f(2) < 0$ гарантирует, что $D > 0$ (а значит, корни автоматически различны — требование «два различных» выполнено).

Необходимость: используем симметрию

Система симметрична относительно замены $x \leftrightarrow y$. Это значит, что если пара $(x_0;\, y_0)$ — решение, то и пара $(y_0;\, x_0)$ — тоже решение. Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы $x_0 = y_0$. Подставим $y = x$ в первое неравенство:

Чтобы это неравенство имело ровно одно решение, соответствующее квадратное уравнение должно иметь дискриминант, равный нулю:

При $a = 1/4$ получаем $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 \leqslant 0$, откуда $x = \dfrac{1}{2}$. Единственным решением-кандидатом является точка $\left(\dfrac{1}{2};\, \dfrac{1}{2}\right)$.

Достаточность: доказываем единственность

Докажем, что при $a = 1/4$ других решений нет. Подставим $a$ в систему:

Сложим эти неравенства:

Сгруппируем полные квадраты:

Сумма неотрицательных чисел меньше либо равна нулю тогда и только тогда, когда оба они равны нулю. Следовательно, $x = 1/2$ и $y = 1/2$. Решение действительно единственное.

Строим графики

Построим графики в системе координат $Oxy$. Второе уравнение $y = |x| - 2$ задаёт «уголок», ветви которого направлены вверх, с вершиной в точке $(0;\, -2)$. Первое уравнение $x^2 + y^2 = a^2$ задаёт семейство окружностей с центром в начале координат $(0;\, 0)$ и радиусом $R = |a| \geqslant 0$.

Перебираем радиус

Количество решений — это количество точек пересечения окружности и уголка. Будем увеличивать радиус $R$:

1. При $R < \sqrt{2}$ окружность слишком мала и не достаёт до уголка. (0 решений).
2. При $R = \sqrt{2}$ окружность касается обеих ветвей уголка. Расстояние от центра $(0;\,0)$ до прямой $y = x - 2 \iff x - y - 2 = 0$ равно $d = \dfrac{|0 - 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Здесь ровно 2 решения (точки касания).
3. При $\sqrt{2} < R < 2$ окружность пересекает каждую ветвь уголка дважды. (4 решения).
4. При $R = 2$ окружность проходит через вершину уголка $(0;\, -2)$ и пересекает ветви в точках $(\pm 2;\, 0)$. (3 решения).
5. При $R > 2$ окружность обхватывает вершину уголка и пересекает его ветви только по одному разу каждую. Итого 2 решения.

Возвращаемся к параметру

Нам подходят случаи 2 и 5: $R = \sqrt{2}$ и $R > 2$. Вспоминая, что $R = |a|$, получаем $|a| = \sqrt{2} \implies a = \pm\sqrt{2}$, а также $|a| > 2 \implies a \in (-\infty;\, -2) \cup (2;\, +\infty)$.

Составляем систему условий

Старший коэффициент равен $1 \neq 0$ — уравнение квадратное при любом $a$, отдельный случай не нужен. Обозначим $f(x) = x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 2a$. Чтобы оба корня лежали на отрезке $[0;\,4]$, по теореме о расположении корней (раздел 1) для $a_{\text{старший}}=1>0$ должны выполняться четыре условия:

Дискриминант

Дискриминант положителен при любом $a$ — корни всегда различны, условие $D\geqslant 0$ выполнено всегда.

Вершина и концы отрезка

Вершина. $x_0 = a - 1$. Условие $0 \leqslant a-1 \leqslant 4 \iff 1 \leqslant a \leqslant 5$.

Концы отрезка.

Пересекаем условия и проверяем

Пересечение всех условий:

Проверка по существу. Поскольку $\dfrac{D}{4}=1$, корни равны $x_{1,2} = (a-1)\pm 1$, то есть $x_1 = a-2$, $x_2 = a$. Условие «$0\leqslant a-2$ и $a\leqslant 4$» даёт ровно $2 \leqslant a \leqslant 4$ — совпало с ответом по формуле. Это хорошая страховка от ошибки.

ОДЗ (выписываем сразу)

Аргументы всех логарифмов положительны:

Уже здесь видно: необходимо $a > 0$, иначе правая часть не определена.

Преобразование

По свойству суммы логарифмов (аргументы на ОДЗ положительны, модуль не нужен):

Корни и фильтр ОДЗ

При $a>0$ оба корня действительны. Проверим условие $x>3$:

• Меньший корень $x_- = \dfrac{3 - \sqrt{9+4a}}{2} < \dfrac{3}{2} < 3$ — всегда выпадает из ОДЗ (типичная ловушка: формально найден, но недопустим).
• Больший корень $x_+ = \dfrac{3 + \sqrt{9+4a}}{2}$. Неравенство $x_+ > 3 \iff \sqrt{9+4a} > 3 \iff 9 + 4a > 9 \iff a > 0$ — выполнено на всём ОДЗ.

Значит, при каждом $a>0$ остаётся ровно один допустимый корень $x_+$.

Проверка

Пусть $a = 4$: тогда $x_+ = \dfrac{3+\sqrt{25}}{2} = 4$, и $\lg 4 + \lg 1 = \lg 4$ — верно.

Замена с учётом области

Пусть $t = \cos x$, тогда по ограниченности косинуса $t \in [-1;\, 1]$. Уравнение становится квадратным:

Разложим на множители (подбором или через дискриминант):

Анализ корней по $t$

• Корень $t = \dfrac{1}{2}$ всегда допустим ($\frac12\in[-1;1]$) и даёт $\cos x = \dfrac12$, то есть серию $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\in\ZZ$. Поэтому решение есть при любом $a$.
• Корень $t = a$ допустим $\iff a \in [-1;\,1]$. Тогда он добавляет серию $\cos x = a$.

Подсчёт серий

• Если $a < -1$ или $a > 1$: годен только $t=\tfrac12$ — одна серия решений.
• Если $a \in [-1;\,1]$ и $a \neq \dfrac12$: годны оба значения $t=\tfrac12$ и $t=a$ (различные) — две серии.
• Если $a = \dfrac12$: корни $t$ совпадают ($t=\tfrac12$ двойной) — снова одна серия $\cos x = \tfrac12$.

Сворачиваем в сумму квадратов

Можно было бы посчитать дискриминант, но удобнее свернуть левую часть в сумму квадратов (метод оценок, раздел 3). Сгруппируем:

Обнуляем каждое слагаемое

Это сумма двух неотрицательных слагаемых. Она равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Следовательно, решение существует только при $a = 1$, и тогда $x = -1$.

Проверка

При $a=1$: $x^2 + 2x + 2 - 2 + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$ — верно.