Часть 2, задание 4: Уравнение

Равносильный переход

Используем равносильный переход «логарифм равен числу». По определению логарифма уравнение равносильно системе:

Решаем квадратное уравнение

Решаем первое уравнение системы:

Отбираем корни

Теперь проверяем найденные корни по условиям $x > 0$ и $x \neq 1$:

• $x_1 = 1$ не подходит, так как основание логарифма не может быть равно $1$.
• $x_2 = 4$ удовлетворяет всем условиям ($4 > 0, 4 \neq 1$).

Равносильный переход

Здесь $f(x) = x+7$, $g(x) = x+1$. Применяем равносильный переход для $\sqrt{f}=g$ (без полной ОДЗ — условие $f\geqslant 0$ не нужно, оно выполнится из $f=g^2$):

Решаем квадратное уравнение

Решаем уравнение системы:

Проверяем условие $g(x)\geqslant 0$

Теперь — ключевой шаг, ради которого и нужно условие $g(x)\geqslant 0$. Проверяем неравенство $x + 1 \geqslant 0$, т.е. $x \geqslant -1$:

• $x_1 = -3$: $-3 + 1 = -2 < 0$ — не подходит. Это посторонний корень: подстановка даёт $\sqrt{4} = 2$, но $x+1 = -2$, а корень не может равняться отрицательному числу.
• $x_2 = 2$: $2 + 1 = 3 \geqslant 0$ — подходит. Проверка: $\sqrt{9} = 3 = 2 + 1$. Верно.

Без условия $g(x)\geqslant 0$ корень $x=-3$ был бы ложно засчитан — именно так возведение в квадрат приобретает лишние решения.

Замена $t = 2^x$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Делаем замену $t = 2^x$, причём обязательно $t > 0$ (показательная функция положительна):

Отбор по условию $t > 0$

Отбор по условию $t > 0$:

• $t_2 = -1 < 0$ — не подходит (нет такого $x$, при котором $2^x = -1$).
• $t_1 = 4$ — подходит.

Возвращаемся к переменной

Возвращаемся к переменной: $2^x = 4 = 2^2 \implies x = 2$.

Проверка: $4^2 - 3\cdot 2^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$. Верно.

Проверяем серию $\cos x = 0$

Это однородное уравнение второй степени относительно $\sin x$ и $\cos x$. Стандартный приём — деление на $\cos^2 x$. Но сначала обязательно проверим, не теряем ли мы серию $\cos x = 0$.

Пусть $\cos x = 0$. Тогда $\sin^2 x = 1 \neq 0$, и левая часть равна $1 - 0 + 0 = 1 \neq 0$. Значит, при $\cos x = 0$ уравнение не выполняется, и серия $x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n$ корнем не является — делить на $\cos^2 x$ можно без потери корней.

Делим на $\cos^2 x$ и решаем квадратное

Делим на $\cos^2 x$ и вводим $t = \tg x$:

Возвращаемся к $x$

Возвращаемся к $x$:

Сворачиваем методом вспомогательного угла

Свернём левую часть методом вспомогательного угла. Здесь $a = 1$, $b = \sqrt{3}$, $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1+3} = 2$. Тогда:

Решаем простейшее уравнение

Уравнение принимает вид:

Простейшее уравнение $\sin t = \tfrac12$ даёт две серии (удобнее записать без $(-1)^n$, разбив на ветви):

Записываем серии и проверяем

Отсюда:

Проверка $x = \tfrac{\pi}{2}$: $\sin\tfrac{\pi}{2} + \sqrt3\cos\tfrac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$. Верно.

Переходим к системе

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю:

Решаем числитель и знаменатель

Числитель: $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \dfrac{\pi n}{3}, \quad n \in \ZZ.$

Знаменатель: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, \quad m \in \ZZ$ (это выколотые точки).

Ищем пересечение серий

Теперь — главное действие, которое ценит рубрика ДВИ: серии реально пересекаются, и нужно выбросить совпавшие точки. Выясним, при каких $n$ корень числителя $x = \dfrac{\pi n}{3}$ попадает в запрещённое множество $x = \pi m$:

Целочисленный перебор по остаткам

То есть выколоть нужно каждый третий корень — те, у кого номер $n$ кратен $3$. Проведём целочисленный перебор $n$ по остаткам от деления на $3$:

Объединяем серии

Остаются те $x = \dfrac{\pi n}{3}$, у которых $n$ не делится на $3$. Это удобно объединить в две серии (остатки $1$ и $2$):

Нанесём результат на окружность для самоконтроля.

Переходим к системе

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определен и не равен нулю.

Преобразуем числитель

Преобразуем числитель (разность синусов в произведение):

Преобразуем знаменатель

Преобразуем условие знаменателя. Разделим на $\cos x$ (заметив, что если $\cos x = 0$, то $\sin x \neq 0$, и их сумма не равна нулю — значит, точки $\cos x = 0$ заведомо не попадают в выколотые, и при делении мы их не теряем):

Отбираем корни на окружности

Нанесем серии числителя и выколотые точки знаменателя на тригонометрическую окружность.

Так как ни один корень числителя не попадает в выколотые точки $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi m$, все найденные корни идут в ответ. (Сравни с Примером 6, где пересечение было реальным и часть корней пришлось выбросить.)

Ограничения и сворачивание логарифмов

Ограничения: логарифмы требуют $x > 0$ и $y > 0$.

Свернём первое уравнение по свойству суммы логарифмов:

Симметричная система и теорема Виета

Получаем симметричную систему относительно суммы и произведения:

По теореме Виета $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$:

Записываем пары и проверяем

Отсюда две пары: $(x, y) = (2, 4)$ или $(x, y) = (4, 2)$. Обе удовлетворяют ограничениям $x>0,\ y>0$.

Проверка для $(2,4)$: $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$, $\ 2 + 4 = 6$. Верно.

Ограничения и идея метода

Ограничения (ОДЗ): $x - 2 \geqslant 0$ и $4 - x \geqslant 0$, то есть $x \in [2;\, 4]$.

Идея метода оценок: показать, что левая часть не больше некоторого числа $M$, а правая — не меньше того же $M$. Тогда равенство возможно, только когда обе части равны $M$ одновременно.

Оценка левой части сверху

По неравенству о среднем (или из $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant 0$) для $a + b = (x-2) + (4-x) = 2$:

Равенство достигается при $x - 2 = 4 - x$, то есть при $x = 3$.

Оценка правой части снизу

Выделим полный квадрат:

Равенство достигается при $x = 3$.

Совмещаем оценки

Итак, $\text{ЛЧ} \leqslant 2 \leqslant \text{ПЧ}$. Равенство возможно лишь когда обе части равны $2$, а это происходит в одной и той же точке $x = 3$ (она лежит в ОДЗ $[2;4]$).

Проверка: $\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$ и $9 - 18 + 11 = 2$. Верно.