Часть 1, задание 5: Тригонометрия -- уравнения и экстремумы

Содержание

Задание 5 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 5 базовой части ДВИ

Пятое задание базовой части — тригонометрия, но не та, где вычисляют значение выражения по табличным углам (это соседний слот, задание 6). Здесь спрашивают про поведение функции: наибольшее и наименьшее значение, количество корней, наибольший или наименьший угол треугольника. Итог — одно число.

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

Главный факт про слот: производная не нужна ни разу. Все 11 задач банка решаются одним движением — привести выражение к одной тригонометрической функции (или к квадратному трёхчлену от неё) и прочитать область значений. Слова «найдите минимальное значение функции» пугают больше, чем сама задача.

Второй факт: в трёх задачах из одиннадцати функции нет вовсе — там треугольник, и угол по условию восстанавливается неоднозначно: кандидатов получается два, а лишние отсеивает сумма углов.

СОВЕТ

Частота и знаки на амплитуду не влияют

В четырёх задачах слота на свёртку $a\sin t + b\cos t$ внутри стоит то $3x$ (18593), то $2x$ (18608), то просто $x$ (18623), то $5x$ (18654). На ответ это не влияет никак: амплитуда $R=\sqrt{a^2+b^2}$ считается по коэффициентам перед синусом и косинусом. Знак коэффициента тоже безразличен — он входит под квадратом: в 18623 выражение $2\sqrt5\sin x - \sqrt5\cos x$ даёт $R = \sqrt{20+5} = 5$ . Осторожность нужна в одном месте: убедись, что перед тобой действительно $a\sin t + b\cos t$ с одним и тем же $t$ .

Какие темы встречаются

Разбор всех 11 задач слота даёт пять сюжетов:

Свёртка $a\sin t + b\cos t$ в одну синусоиду — 4 задачи из 11 (18593, 18608, 18623, 18654). Самый частый сюжет: посчитал $\sqrt{a^2+b^2}$ — и значение готово. Просят то наибольшее ( $+R$ ), то наименьшее ( $-R$ ). Все четыре набора коэффициентов подобраны так, что $R$ выходит целым: $3$ , $4$ , $5$ , $10$ .
Угол треугольника, восстановленный по квадрату синуса или косинуса — 3 задачи из 11 (18596, 18611, 18626). Дано $\cos^2\angle A$ и $\sin\angle B$ (или наоборот), нужен наибольший либо наименьший $\angle C$ . Решение — перебор комбинаций с отсевом по сумме углов.
Сведение к квадратному трёхчлену от одной функции — 2 задачи из 11 (18674, 18690). Основное тождество убирает вторую функцию, дальше замена и исследование параболы на отрезке.
Свёртка через двойной угол — 1 задача из 11 (18639).
Отбор корней простейшего уравнения — 1 задача из 11 (20721). Просят не сами корни, а их количество.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет

Нет ни одной задачи, где потребовалась бы производная. Нет уравнений, которые надо решать заменой и разложением на множители, — единственное уравнение слота (20721) простейшее. Нет тригонометрических неравенств, нет арксинусов и арккосинусов в ответе.

Нет и обратной задачи «при каком $x$ достигается максимум» — спрашивают всегда само значение. Поэтому вспомогательный угол $\varphi$ в свёртке $a\sin t+b\cos t = R\sin(t+\varphi)$ считать не приходится ни разу: достаточно знать, что он существует.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Всё ниже нужно уметь воспроизвести по памяти.

ВАЖНОЕ

Свёртка линейной комбинации синуса и косинуса

Для любых $a$ , $b$ , не равных нулю одновременно, существует такой угол $\varphi$ , что при всех $t$

a\sin t + b\cos t = R\sin(t+\varphi), \qquad R = \sqrt{a^2+b^2}.

Число $R$ называют амплитудой. Так как $\sin(t+\varphi)$ пробегает весь отрезок $[-1;\,1]$ , выражение принимает все значения из $\bigl[-R;\ R\bigr]$ : наибольшее равно $R$ , наименьшее — $-R$ , и оба достигаются. Проверка на задачах слота: $\sqrt{6+3}=3$ , $\sqrt{10+6}=4$ , $\sqrt{20+5}=5$ , $\sqrt{10+90}=10$ .

ВАЖНОЕ

Основное тождество и двойной угол

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha.

Главный инструмент третьего сюжета: если в выражении есть и $\sin^2$ , и $\cos^2$ одного аргумента, одну из них всегда можно выразить через другую.

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.

Первая формула читается в обе стороны, и именно обратное чтение решает задачу 18639. Пригодятся и формулы приведения — в частности $\sin\left(v - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos v$ .

ВАЖНОЕ

Квадратный трёхчлен от синуса или косинуса

После замены $t = \cos\alpha$ (или $t=\sin\alpha$ ) задача превращается в поиск экстремума параболы $y = at^2+bt+c$ на отрезке $t \in [-1;\ 1]$ ; вершина в точке $t_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .

И вот здесь нужна проверка, которую пропускают чаще всего: попадает ли $t_0$ в отрезок $[-1;\,1]$ . Если да — экстремум равен значению в вершине. Если нет — парабола на отрезке монотонна, и экстремум достигается на конце, при $t=\pm1$ .

ВАЖНОЕ

Угол треугольника по значению тригонометрической функции

Углы треугольника лежат в интервале $(0^\circ;\,180^\circ)$ . На нём:

синус положителен всегда, поэтому из $\sin^2\angle B = m$ следует единственное $\sin\angle B = +\sqrt{m}$ ;
уравнение $\sin\angle B = m$ при $0<m<1$ даёт два угла — острый $\beta$ и тупой $180^\circ-\beta$ ;
уравнение $\cos\angle A = m$ даёт ровно один угол: косинус строго убывает от $1$ до $-1$ ;
из $\cos^2\angle A = m$ снова получается два угла.

Дальше перебор: для каждой пары считаем $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ и оставляем те, где он положителен.

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18654

Найдите минимальное значение функции

\sqrt{10}\,\sin 5x+3\sqrt{10}\,\cos 5x.

Пример 2. Задача 18639

Определите минимальное значение функции

y = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\left(\sqrt{2}\,\sin x - \sqrt{2}\,\cos x\right).

Пример 3. Задача 18674

Определите минимальное значение функции

y=2\cos 3x-2\sin^2 3x-1.

Пример 4. Задача 18611

В треугольнике $ABC$ известно, что

\cos^2 \angle A = \dfrac{1}{2}, \qquad \sin \angle B = \dfrac{1}{2}.

Найдите наименьшее значение, которое может принимать градусная мера $\angle C$ .

Восстанавливаем оба угла — по два кандидата

Из $\cos^2\angle A = \dfrac12$ следует $\cos\angle A = \pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ , то есть $\angle A = 45^\circ$ или $135^\circ$ . Из $\sin\angle B = \dfrac12$ — острый угол и его дополнение до развёрнутого: $\angle B = 30^\circ$ или $150^\circ$ .

Перебираем все четыре комбинации

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ , и обязательно $\angle C > 0$ :

$\angle A$	$\angle B$	$\angle C$	Годится
$45^\circ$	$30^\circ$	$105^\circ$	да
$45^\circ$	$150^\circ$	$-15^\circ$	нет
$135^\circ$	$30^\circ$	$15^\circ$	да
$135^\circ$	$150^\circ$	$-105^\circ$	нет

Выбираем требуемое

Допустимых значений два: $105^\circ$ и $15^\circ$ . Просили наименьшее — ответ $15^\circ$ . Оба треугольника существуют, отбрасывать тупой вариант не за что.

Пример 5. Задача 20721

Найдите количество корней уравнения

\sin \pi x = -1,

лежащих в промежутке $[-4;\,2]$ .

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Экстремум параболы взяли в вершине, не проверив отрезок

Ошибка: после замены $t=\cos 3x$ получить $y = 2t^2+2t-3$ и сразу записать минимум $-\dfrac72$ , не убедившись, что вершина $t_0=-\dfrac12$ лежит в $[-1;\,1]$ .

Правильно: здесь всё сошлось, но проверка обязана быть частью решения. Задача 18690 — обратный случай: $y = 6+2\cos^2 2x$ , замена $s=\cos^2 2x$ даёт $s \in [0;\,1]$ , функция возрастает, и максимум $8$ достигается на конце $s=1$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Восстановили угол треугольника не из тех вариантов

Ошибка (взяли мало): из $\sin\angle B = \dfrac12$ заключить, что $\angle B = 30^\circ$ . Синус одинаков у угла и у его дополнения до $180^\circ$ , кандидатов два. Пропустив тупой вариант в 18611, теряешь комбинацию $\angle A = 135^\circ$ , $\angle B = 30^\circ$ — а именно она даёт правильный ответ $15^\circ$ .

Ошибка (взяли лишнее): из $\sin^2\angle B = \dfrac34$ написать $\sin\angle B = \pm\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Угол треугольника лежит в $(0^\circ;\,180^\circ)$ , где синус положителен, поэтому остаётся только $+\dfrac{\sqrt3}{2}$ , то есть $60^\circ$ или $120^\circ$ .

Косинус ведёт себя иначе: он строго убывает, поэтому $\cos\angle A = \dfrac{\sqrt3}{2}$ даёт единственный угол $30^\circ$ (18626), а из $\cos^2\angle A = \dfrac14$ законно следует $\pm\dfrac12$ и снова два угла.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не отсеяли комбинации с неположительным углом

Ошибка: в задаче 18596 выписать все четыре пары $(\angle A, \angle B)$ и взять наименьшее из чисел $180^\circ - \angle A - \angle B$ , не глядя на знак.

Правильно: треугольник существует только при $\angle C > 0$ ; ноль тоже не годится. В 18596 три комбинации из четырёх дают $\angle C \leqslant 0$ ( $0^\circ$ , $0^\circ$ и $-60^\circ$ ), остаётся единственная — $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали, что просят, и не записали обоснование

Ошибка: решить 18626 до конца, получить допустимые $\angle C = 90^\circ$ и $30^\circ$ — и записать $30^\circ$ по инерции от соседних задач. Или посчитать $R=\sqrt{a^2+b^2}$ устно и сдать работу с одним числом.

Правильно: в 18596 и 18611 спрашивают наименьшее, а в 18626 — наибольшее ( $90^\circ$ ); у функций максимум просят в 18608 и 18690, минимум — в остальных пяти. И помни: базовая часть письменная, голое число не засчитывается. В задачах на свёртку нужны две строки — сама свёртка и область значений; в задачах про треугольник — весь перебор комбинаций с отсевом.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Прочитал, что именно спрашивают? Наибольшее или наименьшее, значение функции или градусная мера, количество корней или сами корни.
Проверил, один ли аргумент у синуса и косинуса? Формула $R=\sqrt{a^2+b^2}$ работает только для $a\sin t + b\cos t$ с общим $t$ .
Посчитал амплитуду по квадратам коэффициентов? Частота и знаки на неё не влияют.
Если в выражении и $\sin^2$ , и $\cos^2$ — свёл к одной функции? $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$ .
После замены помнишь про отрезок? $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ пробегают только $[-1;\,1]$ , а их квадрат — только $[0;\,1]$ .
Проверил, попадает ли вершина параболы в отрезок? Если нет — экстремум на конце.
Из синуса угла треугольника взял оба кандидата? Острый и тупой. Из косинуса — один. Из квадрата синуса — только положительный корень.
Отсеял комбинации с $\angle C \leqslant 0$ ? Сумма углов ровно $180^\circ$ , все три строго положительны.
При отборе корней решал двойное неравенство по $k$ ? Надёжнее, чем перебирать точки на глаз.
Записал ход, а не только результат? Работа письменная: нужны свёртка или замена, область значений и обоснование выбора.

Проверь себя

Чему равно наибольшее значение выражения $\sqrt{10}\,\sin 2x+\sqrt{6}\,\cos 2x$ ?
В треугольнике $\sin \angle B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Сколько значений может принимать $\angle B$ ?
После замены $t=\cos 3x$ вышло $y=2t^2+2t-3$ . Что проверить перед тем, как объявить минимумом значение в вершине?
Сколько серий решений у уравнения $\sin u = -1$ ?

Часть 1, задание 5: Тригонометрия -- уравнения и экстремумы

Задание 5 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Узнаём конструкцию

Считаем амплитуду

Читаем область значений

Сворачиваем вторую скобку

Узнаём двойной угол и убираем сдвиг

Ответ

Убираем вторую функцию

Замена и полный квадрат

Проверяем, где вершина

Восстанавливаем оба угла — по два кандидата

Перебираем все четыре комбинации

Выбираем требуемое

Записываем общее решение

Выражаем $x$

Отбираем двойным неравенством и считаем целые $k$

Типичные ошибки

Чек-лист

Часть 1, задание 5: Тригонометрия -- уравнения и экстремумы

Задание 5 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Узнаём конструкцию

Считаем амплитуду

Читаем область значений

Сворачиваем вторую скобку

Узнаём двойной угол и убираем сдвиг

Ответ

Убираем вторую функцию

Замена и полный квадрат

Проверяем, где вершина

Восстанавливаем оба угла — по два кандидата

Перебираем все четыре комбинации

Выбираем требуемое

Записываем общее решение

Выражаем xxx

Отбираем двойным неравенством и считаем целые kkk

Типичные ошибки

Чек-лист

Выражаем $x$

Отбираем двойным неравенством и считаем целые $k$