Часть 1, задание 10: Иррациональные уравнения

Выписываем условие на знак

Слева арифметический квадратный корень, он неотрицателен. Значит, и правая часть неотрицательна: $x\geqslant 0$. Подкоренное выражение: $5x-6\geqslant 0$, то есть $x\geqslant \dfrac65$. Пересечение — $x\geqslant \dfrac65$.

Возводим в квадрат

Кандидаты: $x=2$ и $x=3$.

Отсеиваем — и не отсеиваем

Оба кандидата больше $\dfrac65$, оба годятся. Проверка подстановкой: $\sqrt{5\cdot2-6}=\sqrt4=2$ и $\sqrt{5\cdot3-6}=\sqrt9=3$ — верно.

Читаем хвост условия

Корней действительно два, приписка сработала: в ответ идёт наименьший, то есть $2$. Это единственная задача слота, где так вышло.

Условие на знак правой части

$x-1\geqslant 0$, то есть $x\geqslant 1$. Подкоренное: $3x+1\geqslant 0$, то есть $x\geqslant -\dfrac13$ — условие слабее, оно поглощается первым. Итог: $x\geqslant 1$.

Возводим в квадрат

Кандидаты: $x=0$ и $x=5$.

Отсев — и вот здесь главное

Кандидат $x=0$ удовлетворяет ОДЗ подкоренного выражения: $3\cdot0+1=1>0$, корень $\sqrt1$ прекрасно определён. Отсеивает его только условие на знак правой части: $0-1=-1<0$. Подстановка видит то же самое: слева $1$, справа $-1$.

Ответ

Остаётся $x=5$: $\sqrt{3\cdot5+1}=\sqrt{16}=4=5-1$ — верно. Корень один, приписка про «наименьший» не срабатывает.

Приводим к стандартному виду

Уравнение записано так, что корень не отделён. Переносим всё лишнее вправо:

Только после этого шага видно, какое условие на знак выписывать.

Условие на знак и квадрат

$x-1\geqslant 0$, то есть $x\geqslant 1$ (подкоренное $x+3\geqslant0$ даёт лишь $x\geqslant-3$ и поглощается). Возводим:

Отсев по знаку

$\sqrt{17}\approx4{,}12$, поэтому кандидаты — примерно $3{,}56$ и $-0{,}56$. Условию $x\geqslant1$ удовлетворяет только первый; второй посторонний. Строго, без приближений: $\sqrt{17}>3$, значит $3-\sqrt{17}<0$, значит второй кандидат отрицателен.

Ответ

Корень единственный. Иррациональный ответ здесь законен: слово «целое» в условии не звучало.

Приравниваем подкоренные

Два арифметических корня равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны:

Слагаемые $-2x$ сократились — уравнение оказалось даже не полным квадратным.

Проверяем неотрицательность

При $x=2$: $x^2-2x-1=4-4-1=-1<0$. Корня из отрицательного числа нет — кандидат посторонний. Обрати внимание: подкоренные при $x=2$ равны ($3-2\cdot2=-1$ тоже), и одно это ничего не спасает.

При $x=-2$: $x^2-2x-1=4+4-1=7$ и $3-2\cdot(-2)=7$. Оба выражения равны $7\geqslant0$ — корень годится, обе части равны $\sqrt7$.

Ответ

Корень единственный: $x=-2$. Приписка про сумму не срабатывает, в ответ идёт сам корень: $-2$.

Область допустимых значений

Нужны оба подкоренных: $x+1\geqslant0$ и $x-1\geqslant0$, то есть $x\geqslant1$. Знаменатель при этом в ноль не обращается: $\sqrt{x+1}\geqslant\sqrt2>0$.

Домножаем на сопряжённое, а не возводим в квадрат

Числитель и знаменатель умножаем на $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$:

Громоздкая дробь превратилась в разность из двух слагаемых.

Уравнение схлопывается

Переменная $x$ вне корня сократилась целиком — ради этого приём и затевался.

Решаем и отбираем

$x^2-1=4$, значит $x^2=5$ и $x=\pm\sqrt5$. Условию $x\geqslant1$ удовлетворяет только $x=\sqrt5$.

Читаем хвост условия

Просят сумму квадратов всех корней. Корень один, его квадрат равен $5$. Ответ: $5$.

Проверка: $\sqrt5\approx2{,}236$, правая часть $\approx0{,}236$; левая часть равна $x-\sqrt{x^2-1}=2{,}236-2=0{,}236$ — сходится.