Логарифмические неравенства

Содержание

Логарифмические неравенства
Основные формулы и переходы
Приведение к одному основанию
Алгоритм решения
Примеры
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на ДВИ
Оформление под рубрику ДВИ

Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств на ДВИ сводится к трем базовым шагам: поиску Области Допустимых Значений (ОДЗ), приведению логарифмов к одному основанию и избавлению от знака логарифма (потенцированию). В отличие от ЕГЭ, задачи ДВИ часто содержат переменное основание, модули в аргументах и громоздкие рациональные функции.

Главный принцип при работе с логарифмическими неравенствами — постоянный контроль равносильности переходов. Помни: листа формул на ДВИ не выдают, поэтому каждый нетабличный переход (особенно рационализацию) ты должен уметь не просто применить, но и обосновать.

Основные формулы и переходы

Любое логарифмическое неравенство с постоянным основанием $a > 0, a \neq 1$ раскрывается с учетом монотонности функции.

Если основание логарифма содержит переменную, прямое раскрытие требует рассмотрения двух случаев. Чтобы этого избежать, применяют метод рационализации (метод замены множителей).

ВАЖНОЕ

Метод рационализации

На области допустимых значений (ОДЗ) разность логарифмов по одному основанию совпадает по знаку с произведением:

\log_{h(x)} f(x) - \log_{h(x)} g(x) \quad \text{знакосовпадает с} \quad (h(x) - 1)(f(x) - g(x))

Условия применимости (выписывать обязательно): $f(x) > 0$ , $g(x) > 0$ , $h(x) > 0$ , $h(x) \neq 1$ — то есть строго на ОДЗ. Вне ОДЗ знакосовпадение не гарантировано: например, при $f<0$ левая часть вообще не определена, а правая — определена и может иметь любой знак.

В частности, сравнение логарифма с нулем ( $\log_{h(x)} f(x) \geqslant 0$ ) эквивалентно $(h(x) - 1)(f(x) - 1) \geqslant 0$ при условии ОДЗ. Откуда берётся именно $f-1$ ? Поскольку $\log_h 1 = 0$ , запишем $0 = \log_h 1$ и применим общую формулу к разности $\log_h f - \log_h 1$ : здесь $g = 1$ , поэтому $f - g = f - 1$ . Так частный случай выводится из общего за одну строку.

ВАЖНОЕ

Обоснование рационализации (через монотонность)

Это не школьная формула, и строгий проверяющий вправе попросить её вывести. Вывод короткий — разбор двух случаев по основанию.

Рассмотрим знак разности $D = \log_h f - \log_h g$ на ОДЗ ( $f,g,h>0,\ h\neq 1$ ).

Если $h > 1$ (логарифм возрастает): $D > 0 \iff \log_h f > \log_h g \iff f > g$ . То есть знак $D$ совпадает со знаком $(f-g)$ . При этом $(h-1) > 0$ , значит знак $D$ совпадает со знаком $(h-1)(f-g)$ .
Если $0 < h < 1$ (логарифм убывает): $D > 0 \iff \log_h f > \log_h g \iff f < g$ . То есть знак $D$ противоположен знаку $(f-g)$ . При этом $(h-1) < 0$ , и домножение на отрицательный множитель $(h-1)$ снова даёт совпадение знака $D$ со знаком $(h-1)(f-g)$ .

В обоих случаях $\operatorname{sign} D = \operatorname{sign}\big[(h-1)(f-g)\big]$ , что и требовалось. Запиши этот разбор на черновике — на чистовик достаточно одной фразы «по монотонности логарифма знак разности совпадает со знаком $(h-1)(f-g)$ на ОДЗ».

Приведение к одному основанию

Шаг «свести к одному основанию» опирается на формулу перехода — её тоже надо знать наизусть (листа формул нет). Подробный вывод — см. справочник, раздел «Степень основания и переход».

ВАЖНОЕ

Переход к новому основанию

\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \quad (c>0,\ c\neq 1), \qquad \log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b, \qquad \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}.

Знаковая ловушка: деля на $\log_c a$ , ты делишь на величину, знак которой зависит от того, $a>1$ или $0<a<1$ . При постоянном $c$ и постоянном $a$ это просто число, но если $a$ переменное — деление меняет знак неравенства там, где $\log_c a < 0$ . Поэтому к одному основанию приводят, как правило, числовые основания, а переменное основание оставляют для рационализации.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения неравенств с переменным основанием

Выпиши ОДЗ. Для каждого логарифма $\log_{h(x)} f(x)$ запиши в систему: $f(x) > 0$ , $h(x) > 0$ , $h(x) \neq 1$ .
Упрости аргументы. Сведи все логарифмы к одному основанию $h(x)$ , используя свойства степеней и формулы перехода. Числа представь в виде $\log_{h(x)} h(x)^c$ .
Сведи к разности логарифмов. Перенеси всё в одну часть, чтобы получить вид $\log_{h(x)} f(x) - \log_{h(x)} g(x) \lor 0$ .
Примени рационализацию. Замени разность логарифмов на рациональное выражение по формуле. Обязательно укажи, что переход выполняется с учетом ОДЗ.
Реши методом интервалов. Найди корни рационализированного неравенства и пересеки полученное множество с ОДЗ.

СОВЕТ

Когда какой метод

Числовое основание, простейшее сравнение $\log_a f \lor \log_a g$ — простейшие переходы (две системы по знаку $a$ , обычно $a$ известно — одна система).
Квадрат относительно логарифма ( $A\log^2 \pm B\log \pm C \lor 0$ ) — замена $t=\log_a x$ .
Разные основания ( $\log_2$ , $\log_4$ , $\log_8\dots$ ) — переход к одному числовому основанию.
Переменное основание $\log_{h(x)}\dots$ — рационализация ИЛИ совокупность двух систем (см. ниже). Рационализация быстрее, метод систем «честнее» и не требует доказывать формулу.

Примеры

Пример 1. Квадратное относительно логарифма (замена

t=\log_a x

)

Реши неравенство $\log_3^2 x - 4\log_3 x + 3 < 0$ .

Пример 2. Разные основания (приведение к одному основанию)

Реши неравенство $\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x > 11$ .

Пример 3. Переменное основание двумя способами: совокупность систем и рационализация

Реши неравенство $\log_x (8 - x) \geqslant 1$ .

Находим ОДЗ

\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \iff x \in (0;\, 1) \cup (1;\, 8).

Способ A. Совокупность двух систем (разбор по основанию)

Это «честный» метод, который не требует доказывать формулу рационализации, — его особенно ценят строгие проверяющие. Запишем $1 = \log_x x$ и раскроем $\log_x(8-x) \geqslant \log_x x$ по монотонности, разобрав знак основания.

Случай $x > 1$ (основание $>1$ , логарифм возрастает, знак сохраняется):

\begin{cases} x > 1 \\ 8 - x \geqslant x \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x \leqslant 4 \end{cases} \iff 1 < x \leqslant 4.

(Условие $8-x>0$ уже учтено в ОДЗ; при $x\leqslant 4$ оно тем более верно.)

Случай $0 < x < 1$ (основание $<1$ , логарифм убывает, знак меняется):

\begin{cases} 0 < x < 1 \\ 8 - x \leqslant x \end{cases} \iff \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x \geqslant 4 \end{cases} \iff \varnothing.

Система несовместна (нет $x$ одновременно меньше $1$ и не меньше $4$ ).

Объединяя случаи: $x \in (1;\, 4]$ . Это уже лежит в ОДЗ.

Способ B. Рационализация (для самопроверки)

Перенесём всё влево: $\log_x(8-x) - \log_x x \geqslant 0$ . На ОДЗ:

(x - 1)\big((8 - x) - x\big) \geqslant 0 \iff (x-1)(8 - 2x) \geqslant 0 \iff 2(x-1)(4 - x) \geqslant 0.

Корни $x=1$ и $x=4$ , парабола $(x-1)(4-x)$ ветвями вниз, $\geqslant 0$ между корнями: $1 \leqslant x \leqslant 4$ . Пересекаем с ОДЗ ( $x\neq 1$ ): получаем $(1;\, 4]$ .

Оба способа дали один ответ — это надёжная проверка.

Пример 4. Рационализация с дробно-рациональным аргументом

Реши неравенство $\log_x \left(\dfrac{2x-1}{x-1}\right) \leqslant 1$ .

Находим ОДЗ

Для существования логарифма должны выполняться условия:

\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \dfrac{2x-1}{x-1} > 0 \end{cases}

Решим третье неравенство. Корни числителя и знаменателя: $x = \dfrac{1}{2}$ и $x = 1$ . Расставляем знаки: $\dfrac{2x-1}{x-1}>0$ на $(-\infty;\, 0{,}5) \cup (1;\, +\infty)$ . Пересекая с условиями $x > 0$ и $x \neq 1$ , получаем итоговое ОДЗ:

x \in \left(0;\, \dfrac{1}{2}\right) \cup (1;\, +\infty).

Преобразование и рационализация

Представим $1$ как $\log_x x$ . Неравенство примет вид:

\log_x \left(\dfrac{2x-1}{x-1}\right) - \log_x x \leqslant 0.

На ОДЗ применим метод рационализации:

(x - 1)\left(\dfrac{2x-1}{x-1} - x\right) \leqslant 0.

Упростим вторую скобку:

(x - 1) \cdot \dfrac{2x - 1 - x^2 + x}{x - 1} \leqslant 0.

Так как по ОДЗ $x \neq 1$ , множитель $(x-1)$ в числителе и знаменателе сокращается. Остается:

-x^2 + 3x - 1 \leqslant 0 \iff x^2 - 3x + 1 \geqslant 0.

Решение квадратного неравенства

Найдем корни $x^2 - 3x + 1 = 0$ : $x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ . Решение неравенства: $x \in \left(-\infty;\, \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2};\, +\infty\right)$ .

Пересечение с ОДЗ

Оценим числа: $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ . Тогда $\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}382$ . Это число лежит на интервале $\left(0;\, \dfrac{1}{2}\right)$ . Число $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}618$ , оно больше $1$ .

Текстовая расстановка (на случай, если чертёж недоступен): на верхней оси решение квадратного неравенства — два луча $\left(-\infty;\, 0{,}382\right]$ и $\left[2{,}618;\, +\infty\right)$ . Пересекаем с ОДЗ $\left(0;\,0{,}5\right)\cup(1;+\infty)$ : левый луч даёт $\left(0;\, \dfrac{3-\sqrt5}{2}\right]$ (отрезали всё, что $\leqslant 0$ ), правый луч целиком лежит в $(1;+\infty)$ .

С учетом ОДЗ получаем ответ.

Пример 5. Сложное основание с модулем (формат ДВИ)

Реши неравенство $\log_{|x-1|} (x^2 + x - 2) \geqslant \log_{|x-1|} (2x + 4)$ .

Находим ОДЗ

Выпишем систему ограничений:

\begin{cases} |x-1| > 0 \\ |x-1| \neq 1 \\ x^2 + x - 2 > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases}

Первое условие дает $x \neq 1$ .
Второе: $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$ и $x - 1 \neq -1 \implies x \neq 0$ .
Третье: $(x+2)(x-1) > 0 \implies x \in (-\infty;\, -2) \cup (1;\, +\infty)$ .
Четвертое: $x > -2$ . Пересекая $(-\infty;\, -2) \cup (1;\, +\infty)$ с $x > -2$ , получаем $x > 1$ . Убирая точки $1, 0, 2$ , находим итоговое ОДЗ:

x \in (1;\, 2) \cup (2;\, +\infty).

Рационализация

Перенесем всё влево: $\log_{|x-1|} (x^2 + x - 2) - \log_{|x-1|} (2x + 4) \geqslant 0$ . На ОДЗ применим рационализацию:

(|x-1| - 1)(x^2 + x - 2 - (2x + 4)) \geqslant 0.

Заменим скобку с модулем и упростим вторую:

x(x - 2)(x^2 - x - 6) \geqslant 0.

Разложим квадратный трехчлен: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ . Получаем неравенство:

x(x - 2)(x - 3)(x + 2) \geqslant 0.

Решение и пересечение с ОДЗ

Корни: $-2, 0, 2, 3$ . Нам нужно решить это неравенство только на ОДЗ: $x \in (1;\, 2) \cup (2;\, +\infty)$ .

Текстовая расстановка знаков. Полное произведение $x(x-2)(x-3)(x+2)$ на промежутках между корнями $-2,0,2,3$ имеет знаки (справа налево начиная с $+$ на $(3;+\infty)$ , и далее чередование, все корни простые): на $(-\infty;-2)$ «+», на $(-2;0)$ «−», на $(0;2)$ «+», на $(2;3)$ «−», на $(3;+\infty)$ «+».

Но мы на ОДЗ $x>1$ , где множители $x>0$ и $(x+2)>0$ строго положительны и на знак не влияют. Разделим на них обе части (это законно, знак не меняется):

(x - 2)(x - 3) \geqslant 0.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty;\, 2] \cup [3;\, +\infty)$ . Пересекаем с ОДЗ: точка $2$ выколота по ОДЗ, луч $(-\infty;\, 2)$ обрезается условием $x > 1$ . Итог: $x \in (1;\, 2) \cup [3;\, +\infty)$ .

Пример 6. Вложенный логарифм

Реши неравенство $\log_{1/2}\big(\log_2 (x - 1)\big) \geqslant 0$ .

Находим ОДЗ

Внешний логарифм требует, чтобы его аргумент был положителен, а внутренний — чтобы был положителен $x-1$ :

\begin{cases} x - 1 > 0 \\ \log_2 (x-1) > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x - 1 > 1 \end{cases} \iff x > 2.

(Условие $\log_2(x-1)>0$ сильнее, чем $x-1>0$ , и поглощает его.)

Раскрываем внешний логарифм

Основание внешнего логарифма $\dfrac{1}{2} < 1$ — функция убывает, знак меняется. Запишем $0 = \log_{1/2} 1$ :

\log_{1/2}\big(\log_2(x-1)\big) \geqslant \log_{1/2} 1 \iff \log_2(x-1) \leqslant 1.

Раскрываем внутренний логарифм

Объединяя с ОДЗ ( $\log_2(x-1)>0$ ), получаем двойное условие $0 < \log_2(x-1) \leqslant 1$ . Основание $2>1$ — знак сохраняется:

0 < \log_2(x-1) \leqslant 1 \iff 2^0 < x - 1 \leqslant 2^1 \iff 1 < x - 1 \leqslant 2 \iff 2 < x \leqslant 3.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ОДЗ при методе рационализации

Ошибка: Сразу написать $(x-1)(f(x) - g(x)) \geqslant 0$ и решать только его. Метод рационализации расширяет область определения (логарифмы заменяются многочленами, которые существуют всегда). Правильно: Метод интервалов для получившегося многочлена нужно проводить строго внутри ранее найденной области допустимых значений, либо решать систему, где ОДЗ выписано дополнительными строками.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное упрощение логарифма от дроби

Ошибка: Разбить $\log_a \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)$ на $\log_a f(x) - \log_a g(x)$ . Правильно: Формула разности логарифмов справедлива, только если $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ . Если они оба отрицательные, дробь существует, а отдельные логарифмы — нет. Оставляй дробь внутри логарифма или используй модули: $\log_a |f(x)| - \log_a |g(x)|$ (это законно лишь при согласованных знаках, $\frac{f}{g}>0$ ).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Основание меньше единицы — забыли сменить знак

Ошибка: При $0 < a < 1$ написать $\log_a f \geqslant \log_a g \iff f \geqslant g$ . Это неверно: убывающая функция переворачивает неравенство. Правильно: Для $0 < a < 1$ всегда $\log_a f \geqslant \log_a g \iff f \leqslant g$ (плюс $f>0$ ). Та же ловушка подстерегает при обратном переходе от $t=\log_a x$ к $x$ : если $a<1$ , двойное неравенство $p < \log_a x < q$ даёт $a^p > x > a^q$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление неравенства на множитель неизвестного знака

Ошибка: В неравенстве вида $A(x)\cdot B(x) \geqslant 0$ «сократить» на $A(x)$ , не зная его знака. Если $A(x)$ может быть отрицательным, деление переворачивает неравенство, и ответ ломается. Правильно: Делить (сокращать) можно только на множитель, доказанно положительный на рассматриваемом множестве. В Примере 5 деление на $x$ и $(x+2)$ законно ровно потому, что на ОДЗ ( $x>1$ ) они строго положительны — это нужно явно проговорить. Иначе оставляй все множители и работай методом интервалов.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Граница «основание

=1

» и пропуск выколотой точки

Ошибка: Забыть, что основание не может равняться $1$ (для $\log_{h(x)}$ это значит $h(x)\neq 1$ ), и включить эту точку в ответ. Правильно: В ОДЗ всегда выписывай $h(x)\neq 1$ отдельной строкой и выкалывай соответствующие $x$ в финальном пересечении. Аналогично следи за потерей/приобретением корней при умножении неравенства на выражение или возведении в степень — каждый такой шаг проверяй на равносильность.

Что запомнить

ОДЗ — фундамент. Начинай с него. Если ОДЗ выглядит как система из 5 неравенств 4-й степени, возможно, стоит решать через равносильные переходы (системы), а не искать ОДЗ в явном виде. Но в 90% задач ДВИ ОДЗ находится явно и упрощает дальнейший анализ.
Квадрат относительно логарифма ( $A\log^2 \pm B\log \pm C$ ) — замена $t=\log_a x$ , реши квадратное, вернись с учётом монотонности.
Разные основания сводятся к одному числовому основанию формулой $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ ; степени одного основания — формулой $\log_{a^k} b = \frac1k\log_a b$ .
Переменное основание — рационализация или совокупность двух систем по знаку основания. Рационализация: знак $\log_h f - \log_h g$ всегда такой же, как у $(h-1)(f-g)$ — на ОДЗ ( $f,g,h>0,\ h\neq1$ ).
Знак логарифма $\log_h f$ всегда такой же, как у $(h-1)(f-1)$ (частный случай при $g=1$ , ведь $\log_h 1=0$ ).
Множитель вида $|A| - 1$ рационализируется в $A^2 - 1$ ; в общем $|A|-|B|$ знакосовпадает с $A^2-B^2$ .
Вложенные логарифмы раскрывай снаружи внутрь, ОДЗ собирай изнутри наружу.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Оформление на экзамене

Проверяющие МГУ очень строго относятся к словам. Если пишешь «ОДЗ:», ты обязан выписать все условия существования выражений и дорешать их до конца. Ошибешься в ОДЗ — получишь 0 за всю задачу.
Безопаснее писать фразу «Найдем ограничения на $x$ » или просто записать систему: $\begin{cases} \text{неравенство} \\ \text{условия} \end{cases}$ .
Применяя метод рационализации, обязательно пиши кодовую фразу: «На области допустимых значений исходное неравенство равносильно...». Без неё переход считается необоснованным, и баллы будут снижены. Идеально — иметь на черновике вывод формулы (через монотонность), чтобы при необходимости защитить переход устно или дописать строку обоснования.
Если сомневаешься в применимости рационализации (строгий вариант) — решай совокупностью двух систем по знаку основания: этот метод не требует доказывать ничего сверх монотонности, которую абитуриент обязан знать.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают по принципу «решено / не решено» с промежуточным «±» за существенное продвижение с пробелом. Лист формул не выдают, и любой нестандартный переход должен быть обоснован прямо в работе.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения логарифмического неравенства

Заголовок ОДЗ. Напиши «ОДЗ:» и выпиши систему всех условий: аргументы $>0$ , основания $>0$ и $\neq 1$ . Реши систему до явного множества (или оставь как систему-ограничение, если решать её отдельно громоздко — но тогда тащи её до самого конца).
Обоснование метода. Перед потенцированием/рационализацией одной фразой укажи приём и его условие: «по монотонности логарифма», «на ОДЗ неравенство равносильно...». Для рационализации — кодовая фраза про равносильность на ОДЗ.
Преобразования. Аккуратно, с переносом всего в одну часть и приведением к виду «многочлен/дробь $\lor 0$ ». Сокращения множителей сопровождай ремаркой об их знаке.
Метод интервалов. Расставь знаки в тексте (не только на чертеже): отметь корни, укажи знак на каждом промежутке, учти кратность.
Пересечение с ОДЗ и концы. Явно пересеки решение с ОДЗ. Отдельно проговори каждый граничный конец: включён (нестрогое неравенство, точка в ОДЗ) или выколот (строгое неравенство либо точка вне ОДЗ).
Ответ. Запиши множество в стандартной интервальной форме, не забыв тип скобок.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (полное → неполное)

ОДЗ выписано не полностью (забыл $h\neq 1$ , забыл положительность одного из аргументов) — даже при верном «ответе» это потеря баллов, часто фатальная.
Необоснованная рационализация — применил формулу без кодовой фразы/без условий $f,g>0$ ; проверяющий вправе не зачесть переход.
Сокращение на множитель неизвестного знака без оговорки о его положительности.
Неверный конец интервала — перепутал включение/исключение на границе (строгость неравенства × попадание точки в ОДЗ).
Знак при основании $<1$ — не поменял знак неравенства/двойного неравенства при потенцировании.
Потеря случая при переменном основании — разобрал только $h>1$ , забыл $0<h<1$ (или наоборот).

Проверь себя

При $0 < a < 1$ неравенство $\log_a f(x) \geqslant \log_a g(x)$ равносильно системе...
На ОДЗ выражение $\log_{h(x)} f(x) - \log_{h(x)} g(x)$ совпадает по знаку с...
Чем на ОДЗ можно заменить по знаку множитель $|x-1| - 1$ ?
Реши: $\log_x (8-x) \geqslant 1$ . Ответ:

Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства

Основные формулы и переходы

Приведение к одному основанию

Алгоритм решения

Примеры

Находим ОДЗ

Делаем замену

Решаем квадратное неравенство

Обратный переход

Находим ОДЗ

Приводим к одному основанию

Решаем линейное неравенство

Обратный переход

Находим ОДЗ

Способ A. Совокупность двух систем (разбор по основанию)

Способ B. Рационализация (для самопроверки)

Находим ОДЗ

Преобразование и рационализация

Решение квадратного неравенства

Пересечение с ОДЗ

Находим ОДЗ

Рационализация

Решение и пересечение с ОДЗ

Находим ОДЗ

Раскрываем внешний логарифм

Раскрываем внутренний логарифм

Частые ошибки

Что запомнить

Стратегия на ДВИ

Оформление под рубрику ДВИ