Иррациональные уравнения

Равносильный переход

Применим формулу классического перехода. Уравнение равносильно системе:

Решаем квадратное уравнение

Решим уравнение системы:

По теореме Виета корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Отбираем корни

Теперь проверим выполнение условия $x \geqslant 2$:

• Для $x_1 = 5$: $5 \geqslant 2$ — верно, корень подходит.
• Для $x_2 = -3$: $-3 \geqslant 2$ — неверно, корень посторонний.

Ответ: $x = 5$.

Совокупность двух систем

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Выпишем равносильную совокупность двух систем:

Первая система

1. Из первой системы получаем корни $x = 2$ и $x = 5$. Они подходят безусловно (при них корень равен нулю, а скобка вычисляется).

Вторая система и отбор корней

2. Во второй системе сначала найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Это $x = 4$ и $x = -1$. Теперь подставим их в неравенство ОДЗ:

• Проверяем $x = 4$: $4^2 - 7 \cdot 4 + 10 = 16 - 28 + 10 = -2 \geqslant 0$ — ложно. Корень посторонний.
• Проверяем $x = -1$: $(-1)^2 - 7 \cdot (-1) + 10 = 1 + 7 + 10 = 18 \geqslant 0$ — истинно. Корень подходит.

Ответ: $x \in \{-1;\, 2;\, 5\}$.

Ищем общий блок и вводим замену

Простое возведение в квадрат приведёт к уравнению 4-й степени, корни которого искать крайне тяжело. Внимательно посмотрим на подкоренное выражение и левую часть: $2x^2 - 8x + 12 = 2(x^2 - 4x + 6)$. Замечаем общий блок $x^2 - 4x$.

Пусть $t = \sqrt{2x^2 - 8x + 12}$, причём $t \geqslant 0$. Возведём в квадрат: $t^2 = 2x^2 - 8x + 12$. Разделим на 2: $\dfrac{t^2}{2} = x^2 - 4x + 6$. Нам нужно выражение $x^2 - 4x - 6$. Вычтем 12 из обеих частей: $\dfrac{t^2}{2} - 12 = x^2 - 4x - 6$.

Решаем уравнение относительно $t$

Подставим всё это в исходное уравнение:

Корни этого квадратного уравнения: $t = 6$ и $t = -4$. Поскольку мы ввели ограничение $t \geqslant 0$ (арифметический корень), корень $t = -4$ отбрасываем.

Возвращаемся к переменной $x$

Возвращаемся к переменной $x$ при $t = 6$:

(Возведение в квадрат здесь равносильно, так как $6 > 0$).

По теореме Виета находим корни: $x = 6$, $x = -2$.

Ответ: $x = 6;\ x = -2$.

Изолируем один радикал

Здесь два радикала, поэтому сразу возводить в квадрат «как есть» нельзя: $(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1})^2$ снова содержит корень $2\sqrt{(x+4)(x-1)}$, проще не станет. Сначала изолируем один корень:

Левая часть неотрицательна, значит и правая обязана быть неотрицательной: $5 - \sqrt{x-1} \geqslant 0$. Это условие мы держим в уме и подтвердим в конце.

Первое возведение в квадрат

Возводим в квадрат (обе части $\geqslant 0$ — переход равносилен при контроле знака правой части):

Упрощаем правую часть: $25 + (x-1) = x + 24$, поэтому

Второе возведение в квадрат

Остался один радикал. Возводим в квадрат ещё раз:

Проверка

Проверка (после двойного возведения обязательна). Подставим $x=5$ в исходное уравнение:

Верно. Заодно условие $5 - \sqrt{x-1} = 5 - 2 = 3 \geqslant 0$ выполнено.

Ответ: $x = 5$.

Равносильный переход

Применяем классический переход:

Решаем квадратное уравнение

Уравнение системы:

Аналитическое сравнение с границей

Корни иррациональны — подставлять их прямо в исходное уравнение мучительно. Сравним каждый с границей $x \geqslant 1$ аналитически, без калькулятора.

• $x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > 0$, то $x_1 > \dfrac{3}{2} > 1$ — условие выполнено, корень подходит.
• $x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Проверим неравенство $\dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \geqslant 1$. Оно равносильно $3 - \sqrt{17} \geqslant 2$, то есть $\sqrt{17} \leqslant 1$. Но $17 > 1$, значит $\sqrt{17} > 1$ — неравенство ложно. Корень $x_2$ посторонний.

Именно так и оформляют отбор иррациональных корней на ДВИ: цепочкой равносильных неравенств, а не приближённым «$\sqrt{17}\approx 4{,}12$».

Ответ: $x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

Возводим в куб равносильно

Корень кубический (нечётной степени), поэтому функция $t \mapsto t^3$ строго возрастает на всей оси и возведение в куб равносильно — никакой системы с условием «$x-1\geqslant 0$» здесь писать не нужно (это типичная ошибка по аналогии с квадратным корнем). Просто возводим обе части в куб:

Решаем квадратное уравнение

Слагаемые $x^3$ сокращаются:

По теореме Виета: $x = 2$ и $x = -1$.

Проверка подстановкой

Оба корня годятся (ограничений знака нет). Для надёжности убедимся подстановкой:

• $x = 2$: $\sqrt[3]{8 - 7} = \sqrt[3]{1} = 1 = 2 - 1$ — верно.
• $x = -1$: $\sqrt[3]{-1 - 7} = \sqrt[3]{-8} = -2 = -1 - 1$ — верно (кубический корень из отрицательного числа существует!).

Если бы здесь по инерции добавили условие $x - 1 \geqslant 0$, то верный корень $x=-1$ был бы потерян.

Ответ: $x = 2;\ x = -1$.

Выбираем метод: монотонность

«В лоб» это уравнение уводит в степень 6 (чтобы убрать оба корня сразу, понадобилось бы общее основание — шестая степень), и алгебра становится неподъёмной. Зайдём через монотонность.

ОДЗ: под квадратным корнем нужно $x \geqslant 0$ (кубический определён везде, но он сужается общим ОДЗ до $x\geqslant 0$).

Доказываем единственность корня

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x}$ на $[0; +\infty)$. Обе функции $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ строго возрастают, значит их сумма $f(x)$ строго возрастает. Строго монотонная функция принимает каждое своё значение не более одного раза, поэтому уравнение $f(x) = 2$ имеет не более одного корня.

Находим корень подбором

Подбором находим: при $x = 1$

Корень найден, и в силу строгой монотонности он единственный.

Ответ: $x = 1$.