Часть 1, задание 11: Показательные уравнения

Содержание

Задание 11 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 11 базовой части ДВИ

Одиннадцатое задание базовой части — показательное уравнение: неизвестное стоит в показателе степени. Итог во всех 4 задачах банка — одно число.

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

Слот однороден до предела: все четыре задачи устроены одинаково — слева степень, справа степень, и обе сводятся к одному основанию. После этого показатели просто приравниваются, и остаётся школьное уравнение, чаще всего квадратное.

И вот что стоит осознать сразу, особенно после соседнего слота 10. Там половина работы уходила на отбор корней; здесь отбирать нечего. Показательная функция $a^{t}$ при $a>0$ , $a\ne1$ строго монотонна и никогда не обращается в ноль, поэтому переход $a^{u}=a^{v}\Rightarrow u=v$ равносилен, а не односторонен. Ни ОДЗ, ни проверки посторонних корней в этом слоте нет ни в одной задаче — все корни получившегося квадратного уравнения годятся.

СОВЕТ

Вся сложность — до приравнивания, а не после

Посмотри, как выглядит слот целиком. Правые и левые части замаскированы, но маскировка снимается в одну строку:

Задача	Слева	Справа	Основание	Уравнение на показатели
18600	$3^{x^{2}-3x}$	$9^{2x-5}$	$3$	$x^{2}-7x+10=0$
18615	$\dfrac{1}{2^{3-7x}}$	$4^{x^{2}}$	$2$	$2x^{2}-7x+3=0$
18655	$25^{x-3}$	$0{,}2^{3-x}$	$5$	$2x-6=x-3$
18585	$\dfrac{1}{5^{9-2x}}$	$125^{(x-1)^{2}}$	$5$	см. разбор Примера 4

Всё, что справа от столбца «Основание», — обычная алгебра восьмого класса. Всё, что слева, — умение узнать $9$ , $4$ , $25$ , $125$ и $0{,}2$ как степени одного числа и не потерять знак, переворачивая дробь.

Какие темы встречаются

Разбор всех 4 задач слота даёт один метод и три способа его замаскировать.

Число справа (или слева) — степень того же основания — 4 задачи из 4. Встретились $9=3^{2}$ (18600), $4=2^{2}$ (18615), $25=5^{2}$ и $125=5^{3}$ (18655, 18585). Ни разу основания не оказались несводимыми — например, $2^{f(x)}=3^{g(x)}$ в слоте нет.
Единица в знаменателе, то есть отрицательный показатель, — 2 задачи из 4 (18585, 18615). Обе записаны в одном и том же виде $\dfrac{1}{a^{\,b-cx}}$ , и обе проверяют, удержишь ли ты знак.
Десятичная дробь как основание — 1 задача из 4 (18655). Единственное место слота, где основание надо узнать не в целом числе, а в $0{,}2=\dfrac15=5^{-1}$ .
Квадратное уравнение после приравнивания — 3 задачи из 4 (18585, 18600, 18615); линейное — 1 из 4 (18655). Квадрат приходит из показателя: $x^{2}-3x$ , $x^{2}$ , $(x-1)^{2}$ .

Хвост условия — «в ответ запишите наибольший корень» — стоит в 3 задачах из 4. В 18655 его нет, и это честно: там корень ровно один.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет

Нет замены $t=a^{x}$ . Классический сюжет ЕГЭ — $4^{x}-5\cdot2^{x}+4=0$ , где сумма степеней сводится к квадратному уравнению относительно степени, — не встретился ни разу. Все четыре задачи слота устроены как равенство ровно двух степеней, без сложения и вычитания.

Нет однородных уравнений вида $A\cdot4^{x}+B\cdot6^{x}+C\cdot9^{x}=0$ . Нет логарифмирования обеих частей — приёма, к которому прибегают, когда основания не приводятся к общему. Нет показательных неравенств (у них своя тема), нет параметра и нет систем.

Нет и уравнений, где после приравнивания показателей вышло бы что-то сложнее квадратного трёхчлена: кубических уравнений в слоте не бывает.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Всё ниже нужно уметь воспроизвести по памяти.

ВАЖНОЕ

Главное свойство показательной функции

При $a>0$ и $a\ne1$ :

a^{u}=a^{v} \quad\Longleftrightarrow\quad u=v.

Это равносильность в обе стороны, и держится она на строгой монотонности: показательная функция каждое своё значение принимает ровно один раз. Отсюда два практических следствия:

ОДЗ нет. Выражение $a^{t}$ определено при любом действительном $t$ , каким бы страшным ни был показатель.
Посторонних корней не бывает. Все корни уравнения $u=v$ — корни исходного уравнения, проверять их не нужно.

Оговорка $a\ne1$ существенна: $1^{u}=1^{v}$ верно вообще при любых $u$ и $v$ . В задачах слота основания $2$ , $3$ , $5$ — до этого случая дело не доходит.

ВАЖНОЕ

Как записать всё одним основанием

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad \frac{1}{a^{n}}=a^{-n},\qquad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}.

Числа, которые надо узнавать мгновенно:

4=2^{2},\quad 8=2^{3},\quad 16=2^{4},\quad 32=2^{5},\quad 9=3^{2},\quad 27=3^{3},\quad 81=3^{4},\quad 25=5^{2},\quad 125=5^{3};

0{,}5=2^{-1},\quad 0{,}25=2^{-2},\quad 0{,}2=5^{-1},\quad 0{,}04=5^{-2},\quad \tfrac13=3^{-1}.

Направление приведения выбирай так, чтобы основание было наименьшим из встретившихся: $25^{x-3}=5^{2x-6}$ проще, чем попытка загнать $5$ в основание $25$ .

ВАЖНОЕ

Квадратное уравнение и «наибольший корень»

Ax^{2}+Bx+C=0,\qquad D=B^{2}-4AC,\qquad x=\frac{-B\pm\sqrt{D}}{2A}.

При $A>0$ больший корень — тот, где перед $\sqrt{D}$ стоит плюс. Если корни целые, быстрее раскладывать на множители: $x^{2}-7x+10=(x-2)(x-5)$ , $2x^{2}-7x+3=(2x-1)(x-3)$ .

Знак дискриминанта — твоя контрольная точка. Условие просит наибольший корень, то есть предполагает, что корней хотя бы два; получил $D<0$ — почти наверняка потерян знак при переворачивании дроби.

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18600

Решите уравнение $3^{x^{2}-3x}=9^{\,2x-5}$ . В ответ запишите наибольший корень.

Пример 2. Задача 18615

Решите уравнение $\dfrac{1}{2^{\,3-7x}}=4^{\,x^{2}}$ . В ответ запишите наибольший корень.

Пример 3. Задача 18655

Решите уравнение $25^{\,x-3}=(0{,}2)^{\,3-x}$ .

Пример 4. Задача 18585

Решите уравнение $\dfrac{1}{5^{\,9-2x}}=125^{(x-1)^{2}}$ . В ответ запишите наибольший корень.

Приводим буквально — и упираемся

\frac{1}{5^{\,9-2x}}=5^{\,2x-9},\qquad 125^{(x-1)^{2}}=\left(5^{3}\right)^{(x-1)^{2}}=5^{\,3(x-1)^{2}}.

Приравниваем показатели:

2x-9=3(x-1)^{2}=3x^{2}-6x+3 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-8x+12=0,

D=64-4\cdot3\cdot12=64-144=-80<0.

Действительных корней нет ни одного.

Сверяемся с условием

А условие просит наибольший корень — значит, автор задачи ожидал по меньшей мере два. Это прямое противоречие, и его не надо прятать: если после честного приведения вышло $D<0$ , первым делом перепроверь знак при переворачивании дроби.

Что даёт официальный ответ

Ответ банка — $\dfrac{2+\sqrt{22}}{3}$ . Он получается из уравнения

5^{\,9-2x}=125^{(x-1)^{2}},

то есть если дробь стоит либо с обеих сторон, либо ни с одной. Тогда

9-2x=3x^{2}-6x+3 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-4x-6=0,\qquad D=16+72=88,

x=\frac{4\pm2\sqrt{22}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{22}}{3}.

Так как $\sqrt{22}\approx4{,}69$ , корни примерно $-0{,}90$ и $2{,}23$ ; наибольший — $\dfrac{2+\sqrt{22}}{3}\approx2{,}23$ .

Вывод для экзамена

Приведение к одному основанию ты сделал правильно в обоих случаях — расхождение не в методе. Соседняя задача 18615 записана с точно такой же дробью $\dfrac{1}{2^{\,3-7x}}$ и решается буквально без всяких оговорок. На работе, где решение видит проверяющий, честный ход такой: показать оба вычисления и написать, что при буквальной записи корней нет.

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отбор корней там, где отбирать нечего

Ошибка: после приравнивания показателей выписать ОДЗ, проверять подстановкой оба корня или отбрасывать корень, при котором показатель отрицателен. Правильно: показательная функция определена при любом показателе и всюду положительна, поэтому переход к равенству показателей равносилен. Отрицательный показатель законен: в 18615 корень $x=\frac12$ даёт слева $2^{\,3{,}5}$ — совершенно нормальное число. Время, потраченное на отбор, здесь потрачено зря.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Нашёл общее основание? Ищи наименьшее из встретившихся: $2$ , $3$ или $5$ . Числа $4$ , $8$ , $9$ , $25$ , $27$ , $125$ — это они же в степени.
Проверил дробные и десятичные основания? $0{,}2=5^{-1}$ , $0{,}5=2^{-1}$ , $0{,}25=2^{-2}$ .
Перевернул дробь со знаком? $\dfrac{1}{a^{\,b-cx}}=a^{\,cx-b}$ : минус меняет знак обоих слагаемых.
Возвёл степень в степень умножением показателей? Не сложением.
Основания действительно одинаковые? Только после этого приравнивай показатели.
Решил получившееся уравнение до конца? Квадратное — в трёх задачах из четырёх; если корни целые, быстрее разложить на множители, чем считать дискриминант.
Не тратил время на ОДЗ и отбор? В показательном уравнении посторонних корней не бывает.
Дискриминант отрицательный, а просят наибольший корень? Это сигнал вернуться и перепроверить знак показателя.
Прочитал хвост условия? «Наибольший корень» — в трёх задачах из четырёх.
Проверил ответ подстановкой? Достаточно сравнить показатели после приведения: в 18600 при $x=5$ обе части равны $3^{10}$ .

Проверь себя

Чему равно $\dfrac{1}{2^{\,3-7x}}$ ?
Чему равно $\left(3^{2}\right)^{2x-5}$ ?
В уравнении $2^{\,7x-3}=2^{\,2x^{2}}$ нашлись корни $3$ и $\dfrac12$ . Надо ли их проверять на посторонние?
Чему равно $0{,}2$ как степень?

Часть 1, задание 11: Показательные уравнения

Задание 11 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Приводим к одному основанию

Приравниваем показатели

Читаем ответ

Убираем дробь

Правая часть — тоже степень двойки

Приравниваем показатели

Читаем ответ

Узнаём основание в десятичной дроби

Обе части — степени пятёрки

Приравниваем показатели

Проверка

Приводим буквально — и упираемся

Сверяемся с условием

Что даёт официальный ответ

Вывод для экзамена

Типичные ошибки

Чек-лист