Часть 2, задание 5: Планиметрия

Содержание

Планиметрия на ДВИ: что проверят и как решать
Какие темы встречаются
Ключевые формулы и факты
Общий алгоритм алгебраической геометрии
Примеры решения задач
Частые ошибки
Оформление под рубрику ДВИ
Стратегия на ДВИ

Планиметрия на ДВИ: что проверят и как решать

Пятая задача ДВИ МГУ — это классическая планиметрия. В отличие от школьного ЕГЭ (где задача часто распадается на простой пункт «А» на доказательство и вычислительный пункт «Б»), на ДВИ планиметрия идёт одним сплошным текстом. Требуется найти длину отрезка, угол, площадь или отношение.

Здесь редко встречаются задачи, которые решаются одним красивым дополнительным построением (хотя бывает и такое). Мехмат любит проверять алгебраический подход к геометрии: умение ввести неизвестные переменные (стороны, углы), составить систему уравнений на основе базовых теорем и грамотно её решить.

Какие темы встречаются

В банке ДВИ задачи опираются на классические конструкции:

Общие треугольники: площади, медианы, биссектрисы, теоремы синусов и косинусов.
Отношения отрезков и площадей: теоремы Фалеса, Менелая, Чевы, сравнение площадей треугольников с общей высотой или углом.
Окружности: вписанные и описанные углы, метрические соотношения (касательные, секущие, пересекающиеся хорды, степень точки).
Четырёхугольники: трапеции, параллелограммы, вписанные и описанные четырёхугольники.
Координатно-векторный счёт: иногда удобнее посадить фигуру в координаты или работать со скалярным произведением, чем искать синтетическое решение.

Ключевые формулы и факты

На ДВИ нет справочных материалов, поэтому весь арсенал должен быть в голове. Подробные выводы и расширенный список — в справочнике (раздел «Планиметрия»); ниже собран минимум, без которого пятая задача не берётся, и каждая теорема, которая дальше встретится в примерах, введена здесь заранее.

ВАЖНОЕ

Свойства площадей (Метод площадей)

Если треугольники имеют общую высоту (их основания лежат на одной прямой), то их площади относятся как основания:

\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{BC}{CD}

Если треугольники имеют общий (или смежный, дополняющий до $180^\circ$ ) угол $\alpha$ , то их площади относятся как произведения прилежащих к нему сторон:

\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1 b_1}{a_2 b_2}

Подобные фигуры: $\dfrac{S}{S'} = k^2$ (квадрат коэффициента подобия).

ВАЖНОЕ

Теоремы синусов и косинусов

Для треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$ против вершин $A, B, C$ :

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R \qquad\text{(обобщённая теорема синусов)}

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \qquad\text{(теорема косинусов)}

Соотношение $a = 2R\sin A$ постоянно используется неявно, когда переходят от сторон к углам и обратно.

ВАЖНОЕ

Менелай и Чева (с правилом обхода)

Теорема Менелая. Пусть прямая (секущая) пересекает прямые, содержащие стороны $\triangle ABC$ (или их продолжения), в точках $C_1$ на $AB$ , $A_1$ на $BC$ , $B_1$ на $CA$ . Тогда, идя по контуру $A \to B \to C \to A$ :

\dfrac{AC_1}{C_1 B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1 C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1 A} = 1.

Правило обхода/знаков. Отношения берут по обходу контура треугольника: в каждой дроби — две части стороны, разделённые точкой, в порядке «от текущей вершины к следующей». Если работать с ориентированными (знаковыми) отрезками, произведение равно $-1$ ; в школьно-вузовской записи берут модули отношений и приравнивают к $1$ , а взаимное расположение (какая точка внутри стороны, какая на продолжении) контролируют по чертежу.

Теорема Чевы. Чевианы $AA_1, BB_1, CC_1$ (с $A_1 \in BC$ , $B_1 \in CA$ , $C_1 \in AB$ ) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

\dfrac{AC_1}{C_1 B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1 C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1 A} = 1.

Различие: Менелай — про точки на одной прямой (коллинеарность, секущая), Чева — про отрезки через одну точку (конкурентность). Произведение одно и то же — отличается геометрический смысл.

ВАЖНОЕ

Окружность: вписанный угол и степень точки

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $\beta = \tfrac{\alpha}{2}$ . Следствия:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги), равны;
угол, опирающийся на диаметр, прямой;
равные хорды стягивают равные дуги, значит и равные вписанные углы.

Метрические соотношения. Для пересекающихся хорд $AB$ и $CD$ в точке $M$ :

AM \cdot MB = CM \cdot MD.

Для секущей $PAB$ и касательной $PK$ из внешней точки $P$ :

PK^2 = PA \cdot PB.

Степень точки. Это единая величина $d^2 - R^2$ со знаком ( $d$ — расстояние от точки до центра, $R$ — радиус):

для внутренней точки она отрицательна, $|d^2 - R^2| = AM\cdot MB$ (произведение отрезков хорд);
для внешней точки положительна и равна $d^2 - R^2 = PA\cdot PB = PK^2$ .

Знак показывает, внутри или снаружи лежит точка; модуль — лишь абсолютная величина произведения отрезков.

ВАЖНОЕ

Четырёхугольники: вписанный, описанный, Птолемей

Признак вписанного четырёхугольника (есть описанная окружность):

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ.

Признак описанного четырёхугольника (есть вписанная окружность) — равенство сумм противоположных сторон:

AB + CD = BC + AD.

Теорема Птолемея (для вписанного четырёхугольника $ABCD$ ): произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD.

(В общем выпуклом четырёхугольнике $AC \cdot BD \leqslant AB \cdot CD + BC \cdot AD$ , равенство — ровно для вписанного.) Площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними: $S = \tfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi$ .

Общий алгоритм алгебраической геометрии

Если инсайт (красивое геометрическое решение) не приходит за 5 минут, переходи к алгебраическому методу. Твоя задача — свести геометрию к алгебре.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

Сделай крупный чертёж. Если по ходу решения выясняется, что угол тупой, а не острый — перерисуй. Неверный чертёж ведёт к ложным выводам.
Ищи базовые конструкции. Заметь подобные треугольники, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, биссектрисы.
Введи переменные. Обозначь неизвестные отрезки за $x, y$ , а неизвестные ключевые углы за $\alpha, \beta$ .
Составь систему уравнений. Используй теоремы косинусов/синусов, свойства пересекающихся хорд или формулы площади. Число уравнений должно совпадать с числом неизвестных.
Реши систему. Часто уравнения в геометрии однородные или легко делятся друг на друга.
Отсеки посторонние корни. Длины и площади положительны, косинус по модулю $\leqslant 1$ , точка должна лежать там, где её рисует условие. Проверь геометрическую допустимость каждого корня и при необходимости разбери оба случая конфигурации.

Примеры решения задач

Разберём задачи, демонстрирующие типичную логику ДВИ: строгость, знание фактов и алгебраический подход.

Пример 1. Отношение площадей и теорема Менелая

Условие. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ , а на стороне $BC$ взята точка $N$ так, что $BN : NC = 3 : 1$ . Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O$ . Найдите отношение площади треугольника $AOC$ к площади треугольника $ABC$ .

Разбиваем отношение площадей на два множителя

Чтобы найти $S_{AOC} / S_{ABC}$ , разобьём задачу на два шага. Заметим, что треугольники $AOC$ и $ANC$ имеют общую высоту из вершины $C$ (основания $AO$ и $AN$ лежат на одной прямой). Следовательно, $S_{AOC} / S_{ANC} = AO / AN$ .

В свою очередь, треугольники $ANC$ и $ABC$ имеют общую высоту из вершины $A$ . Значит, $S_{ANC} / S_{ABC} = NC / BC = 1/4$ (так как $BN : NC = 3 : 1$ , то $BC = 4 \cdot NC$ ).

Применяем теорему Менелая

Осталось найти отношение $AO / AN$ . Применим теорему Менелая к $\triangle ABN$ и прямой, содержащей отрезок $MOC$ (точки $M$ на $AB$ , $O$ на $AN$ , $C$ на продолжении $BN$ ):

\dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BC}{CN} \cdot \dfrac{NO}{OA} = 1

Подставим известные отношения. $AM/MB = 1/2$ . Так как $BN = 3x$ и $NC = x$ , то $BC = 4x$ , откуда $BC/CN = 4/1 = 4$ .

\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{NO}{OA} = 1 \implies 2 \cdot \dfrac{NO}{OA} = 1 \implies \dfrac{NO}{OA} = \dfrac{1}{2}

Значит, $OA$ составляет 2 части, а $NO$ — 1 часть. Весь отрезок $AN = 3$ части. Тогда $AO / AN = 2/3$ .

Собираем площади

\dfrac{S_{AOC}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{AOC}}{S_{ANC}} \cdot \dfrac{S_{ANC}}{S_{ABC}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}

Ответ: $\dfrac{1}{6}$ .

Пример 2. Вписанный четырёхугольник и метрические соотношения

Условие. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Известно, что $AB = BC = 6$ , $AD = 4$ , $CD = 5$ . Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Найдите длину отрезка $AM$ .

Замечаем биссектрису через равные дуги

Так как хорды $AB$ и $BC$ равны ( $AB = BC = 6$ ), то равны и стягиваемые ими дуги $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$ .

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, $\angle ADB = \angle BDC$ . Это означает, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ADC$ в $\triangle ADC$ .

Вводим переменную по свойству биссектрисы

По свойству биссектрисы в $\triangle ADC$ :

\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{4}{5}

Пусть $AM = 4x$ , тогда $MC = 5x$ . Вся диагональ $AC = 9x$ . Наша цель — найти $x$ .

Доказываем подобие и выражаем отрезки диагонали $BD$

Покажем подобие треугольников $AMB$ и $DMC$ строго, с соответствием вершин $A \leftrightarrow D$ , $M \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow C$ :

$\angle BAM = \angle CDM$ — это вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ , опирающиеся на одну и ту же дугу $\overset{\frown}{BC}$ , поэтому они равны;
$\angle AMB = \angle DMC$ — вертикальные углы при точке $M$ .

По двум углам $\triangle AMB \sim \triangle DMC$ . Сторонам, лежащим против равных вписанных углов, отвечают $AB$ (против $\angle AMB$ в первом) и $DC$ (против $\angle DMC$ во втором), поэтому коэффициент подобия

k = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{6}{5}.

Из соответствия вершин стороны $AMB$ переходят в стороны $DMC$ так: $AM \leftrightarrow DM$ , $MB \leftrightarrow MC$ , $AB \leftrightarrow DC$ . Значит,

\dfrac{MB}{MC} = k = \dfrac{6}{5} \implies MB = \dfrac{6}{5}\cdot 5x = 6x,

\dfrac{AM}{DM} = k = \dfrac{6}{5} \implies DM = \dfrac{5}{6}\cdot AM = \dfrac{5}{6}\cdot 4x = \dfrac{10}{3}x.

Применяем теорему Птолемея и находим $x$

Для нахождения $x$ применим теорему Птолемея для вписанного четырёхугольника ( $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ ): Диагональ $BD = BM + MD = 6x + \dfrac{10}{3}x = \dfrac{28}{3}x$ .

(9x) \cdot \left(\dfrac{28}{3}x\right) = 6 \cdot 5 + 6 \cdot 4

84x^2 = 30 + 24 = 54 \implies x^2 = \dfrac{54}{84} = \dfrac{9}{14}

Отсюда $x = \dfrac{3}{\sqrt{14}}$ (берём положительный корень: $x$ — доля длины). (Альтернативно можно было применить теорему косинусов для $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$ , выразив косинус угла $D$ и $B$ , учитывая что $\angle B + \angle D = 180^\circ$ , то есть $\cos\angle B = -\cos\angle D$ .)

Находим искомый отрезок

AM = 4x = 4 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{14}} = \dfrac{12}{\sqrt{14}} = \dfrac{12\sqrt{14}}{14} = \dfrac{6\sqrt{14}}{7}

Ответ: $\dfrac{6\sqrt{14}}{7}$ .

Пример 3. Степень точки: касательная и секущая

Условие. Из точки $P$ , лежащей вне окружности, проведены касательная $PK$ (точка $K$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ , причём $A$ ближе к $P$ . Известно, что $PK = 6$ , а внутренний отрезок секущей $AB = 5$ . Найдите длину отрезка $PA$ .

Степень точки: касательная и секущая из P

Пример 4. Чистый тригонометрический счёт и два случая конфигурации

Условие. В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 7$ , сторона $BC = 8$ , а площадь треугольника равна $14\sqrt{3}$ . Найдите сторону $AB$ .

Треугольник: два случая угла C (острый и тупой)

Находим синус угла из площади

Площадь через две стороны и угол между ними: $S = \dfrac{1}{2}\cdot CA \cdot CB \cdot \sin C$ . Подставим:

14\sqrt{3} = \dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 8 \cdot \sin C = 28\sin C \implies \sin C = \dfrac{14\sqrt{3}}{28} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Замечаем два случая для угла $C$

Условие $\sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ при $0 < \angle C < 180^\circ$ даёт два значения угла: $\angle C = 60^\circ$ или $\angle C = 120^\circ$ . Оба геометрически допустимы (треугольник с такими сторонами существует в обоих случаях), поэтому разбираем оба.

По теореме косинусов $AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2\cdot CA\cdot CB\cdot\cos C = 49 + 64 - 112\cos C = 113 - 112\cos C$ .

Разбираем оба случая по теореме косинусов

Случай 1: $\angle C = 60^\circ$ , $\cos C = \dfrac{1}{2}$ .

AB^2 = 113 - 112\cdot\dfrac{1}{2} = 113 - 56 = 57 \implies AB = \sqrt{57}.

Случай 2: $\angle C = 120^\circ$ , $\cos C = -\dfrac{1}{2}$ .

AB^2 = 113 - 112\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169 \implies AB = 13.

Оба ответа допустимы — условие не фиксирует, острый угол $C$ или тупой.

Ответ: $AB = \sqrt{57}$ (если $\angle C$ острый) или $AB = 13$ (если $\angle C$ тупой).

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Рисунок частного случая

Ошибка: В условии сказано «дан треугольник $ABC$ ». Абитуриент рисует его почти равнобедренным или прямоугольным. В процессе решения ему начинает казаться, что высота совпадает с медианой, и он использует это без доказательства. Правильно: Всегда рисуй подчёркнуто разносторонний, неправильный треугольник. Все свойства (перпендикулярность, деление пополам) должны вытекать строго из формул или теорем.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря второго случая в конфигурации

Ошибка: В задаче сказано «окружность касается прямой $AB$ и прямой $BC$ ». Абитуриент рассматривает только окружность, вписанную в угол, находящуюся внутри треугольника. Та же ловушка с углом: из $\sin C = \tfrac{\sqrt3}{2}$ берут только $\angle C = 60^\circ$ и теряют $\angle C = 120^\circ$ (см. пример 4). Правильно: Окружность может быть вневписанной (касаться стороны $AB$ и продолжений других сторон), а угол по синусу может быть как острым, так и тупым. Читая условие, задай себе вопрос: однозначно ли задана конфигурация? Если нет — на ДВИ придётся рассматривать два случая и получать два ответа.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знаки и обход в теореме Менелая

Ошибка: Применяя Менелая, абитуриент путает порядок отрезков в дробях (« $C_1B$ » вместо « $AC_1$ ») или забывает, что одна из трёх точек лежит на продолжении стороны, и получает обратное отношение. Правильно: Фиксируй направление обхода контура $A \to B \to C \to A$ и в каждой дроби записывай отрезки строго «от текущей вершины к точке деления / от точки деления к следующей вершине». Помни: ровно одна (для секущей) или ноль точек должны лежать на продолжениях — это видно на чертеже и служит проверкой.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Посторонние корни и геометрическая допустимость

Ошибка: Решив квадратное уравнение на длину или приравняв формулы площади, абитуриент выписывает оба корня в ответ, не проверяя, что они задают реальную фигуру (длина $> 0$ , $|\cos| \leqslant 1$ , точка лежит на нужном отрезке, четырёхугольник действительно вписываем). Правильно: Каждый полученный корень подставь обратно в геометрические ограничения. Отрицательную длину, $\cos\varphi$ вне $[-1;1]$ или точку, выпавшую за пределы стороны, отбрасывай — но отбрасывай с явным обоснованием, а не молча.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ проверяют по outcomes-рубрике: важно не только число в ответе, но и то, что каждый переход обоснован. Ниже — эталон полного решения и список того, за что снимают «±».

СОВЕТ

Эталон полного решения (по примеру 3)

Дано: $P$ вне окружности; $PK$ — касательная, $K$ — точка касания; секущая через $A$ (ближняя) и $B$ ; $PK = 6$ , $AB = 5$ . Найти $PA$ .

Теорема (named). «По теореме о касательной и секущей для внешней точки $P$ : $PK^2 = PA\cdot PB$ .»
Введение переменной. «Положим $PA = t > 0$ . Так как $A$ между $P$ и $B$ , то $PB = t + 5$ .»
Уравнение и его решение. « $36 = t(t+5)$ , то есть $t^2 + 5t - 36 = 0$ ; $D = 169$ , $t = 4$ или $t = -9$ .»
Отбор корня с обоснованием. « $t$ — длина отрезка, значит $t > 0$ ; корень $t = -9$ посторонний. Остаётся $PA = 4$ .»
Ответ. «Ответ: $PA = 4$ .»

Каждый шаг: ссылка на теорему по имени → формула → подстановка → обоснованный вывод.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (частичный балл вместо полного)

Голый набор формул без слов. «По теореме Менелая для $\triangle ABN$ и секущей $MOC$ …» обязательно проговаривается; за цепочку дробей без указания, к чему она применяется, балл срезают.
Неназванная теорема. Птолемей, Менелай, степень точки, свойство вписанных углов — называть по имени, а не «как известно».
Недопроговорённое подобие. Указывай соответствие вершин и обе пары равных углов (как в примере 2, шаг 4), иначе «треугольники подобны» считают необоснованным.
Потерянный случай. Если конфигурация не единственна (острый/тупой угол, вписанная/вневписанная окружность) — разобрать все случаи; один ответ из двух = «±».
Невыброшенный посторонний корень или, наоборот, выброшенный без объяснения. Отбор корней — с явной ссылкой на ограничение ( $>0$ , $|\cos|\leqslant1$ , точка на отрезке).
Несуществующая конфигурация. Полезно убедиться, что фигура с данными существует (например, что четырёхугольник со сторонами из условия действительно вписываем, а треугольник удовлетворяет неравенству треугольника).

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Время: Планиметрия — это задача №5. Она может съесть очень много времени. Не зависай на ней больше 10 минут, если нет идей. Напиши алгебраическую систему (теоремы косинусов/синусов), убедись, что число неизвестных равно числу уравнений, и отложи задачу. Вернись к её решению после того, как сделаешь понятные алгебраические задачи (№6 и №7 могут оказаться технически проще).
Лист формул не выдают: Свойства хорд, секущих, касательных, степень точки, Менелай/Чева, Птолемей, признаки вписанного/описанного четырёхугольника и все 5 формул площади треугольника нужно выучить до автоматизма (всё это — в блоке «Ключевые формулы» выше и в справочнике).
Обоснования: На ДВИ обязательно нужно словами пояснять переходы. Пиши: «По теореме Менелая для $\triangle ABC$ и прямой $MN$ ...», «Так как четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $180^\circ$ ». За голый набор формул оценку существенно снижают.

Проверь себя

Из внешней точки $P$ проведены касательная $PK$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ . Какое равенство верно?
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Что можно утверждать про его углы?
В каком отношении биссектриса из вершины $A$ делит противоположную сторону $BC$ ?
В треугольнике известно, что $\sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Какие значения может принимать угол $C$ ?

Часть 2, задание 5: Планиметрия

Планиметрия на ДВИ: что проверят и как решать

Какие темы встречаются

Ключевые формулы и факты

Общий алгоритм алгебраической геометрии

Примеры решения задач