Прогрессии

Относится к заданиям: 7, 15, 92, 95

Содержание

Суть и базовые понятия
Универсальный алгоритм решения
Примеры решения задач
Частые ошибки
Что запомнить
Оформление под рубрику ДВИ
Стратегия на ДВИ

Суть и базовые понятия

На ДВИ задачи на прогрессии часто маскируются под текстовые задачи, уравнения или комбинации свойств чисел с алгеброй. Практически любая задача на эту тему сводится к составлению и решению системы уравнений относительно первого члена и шага (или знаменателя) прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$ (разности прогрессии).

Геометрическая прогрессия

Последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q \neq 0$ (знаменатель прогрессии). Требование неравенства нулю необходимо, чтобы прогрессия задавалась однозначно.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если знаменатель удовлетворяет условию $|q| < 1$ , то с ростом $n$ члены $b_n = b_1 q^{n-1}$ стремятся к нулю, а частичные суммы $S_n$ стремятся к конечному пределу. Этот предел называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Эта формула — одна из стандартных тем письменного ДВИ. Чаще всего её применяют:

для подсчёта суммы бесконечного ряда геометрического вида;
для перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную (период образует бесконечно убывающую ГП);
внутри текстовых задач, где процесс повторяется неограниченно (отскоки мяча, бесконечные вложения и т.п.).

Наглядная иллюстрация суммы бесконечно убывающей ГП на отрез

Универсальный алгоритм решения

В задачах ДВИ редко просят просто подставить числа в формулу. Обычно требуется найти неизвестные параметры через решение нелинейных систем.

АЛГОРИТМ

Как решать алгебраические задачи на прогрессии

Переведи всё на язык $a_1$ и $d$ (или $b_1$ и $q$ ). Распиши все заданные члены по формуле $n$ -го члена.
Составь систему уравнений. Используй условия задачи (суммы, произведения, равенства).
Реши систему.
- Для арифметической прогрессии чаще всего помогает метод подстановки или сложения/вычитания уравнений (они обычно линейные относительно $a_1$ и $d$ , если нет произведений).
- Для геометрической прогрессии выноси общие множители за скобки и дели одно уравнение на другое. Так как $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ , это действие безопасно (но всегда проверяй скобки вида $q \pm 1$ ).
Используй характеристическое свойство, если в задаче фигурируют три и более идущих подряд члена. Это позволяет обойтись без $a_1$ и сразу составить уравнение на соседние члены.
Отбери корни письменно. Найдя все корни системы, явно проверь каждый по условиям задачи (возрастание, положительность, знак $q$ , целочисленность) и в тексте обоснуй, почему лишние отбрасываешь. На ДВИ необоснованный отбор — потеря балла.

Примеры решения задач

Разберём задачи, где простое применение формул сочетается с алгебраической строгостью и теорией чисел.

Пример 1. Системы в арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии сумма первых пяти членов равна $45$ , а сумма следующих пяти членов равна $120$ . Найдите сумму первых $15$ членов этой прогрессии.

Пример 2. Отношения в геометрической прогрессии

Возрастающая геометрическая прогрессия состоит из положительных чисел. Сумма первого и третьего членов равна второму, умноженному на $\dfrac{10}{3}$ . Найдите отношение суммы с 7-го по 12-й член включительно к сумме первых шести членов.

Пример 3. Деление уравнений системы — главный метод для ГП

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна $21$ , а сумма их квадратов равна $189$ . Найдите эти числа.

Составляем систему

Обозначим члены через $b_1$ и $q$ : это $b_1,\ b_1 q,\ b_1 q^2$ . Запишем систему:

\begin{cases} b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 21 \\ b_1^2 + b_1^2 q^2 + b_1^2 q^4 = 189 \end{cases} \implies \begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 21 \\ b_1^2(1 + q^2 + q^4) = 189 \end{cases}

Делим уравнения

Здесь работает главный приём для ГП — деление одного уравнения на другое, чтобы избавиться от $b_1$ . Но прежде заметим тождество (раскладывается как разность квадратов $1+q^2+q^4=(1+q+q^2)(1-q+q^2)$ ):

1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2).

Тогда второе уравнение запишется так:

b_1^2 (1 + q + q^2)(1 - q + q^2) = 189.

Делим второе уравнение на первое (делитель равен $21 \neq 0$ , деление корректно):

\frac{b_1^2 (1 + q + q^2)(1 - q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{189}{21} \implies b_1(1 - q + q^2) = 9.

Решаем упрощённую систему

Получили более простую систему:

\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 21 \\ b_1(1 - q + q^2) = 9 \end{cases}

Вычтем второе из первого: $b_1 \cdot 2q = 12 \implies b_1 q = 6$ . Сложим: $b_1(2 + 2q^2) = 30 \implies b_1(1 + q^2) = 15$ .

Из $b_1 q = 6$ выразим $b_1 = \dfrac{6}{q}$ и подставим:

\frac{6}{q}(1 + q^2) = 15 \implies 6 + 6q^2 = 15q \implies 6q^2 - 15q + 6 = 0 \implies 2q^2 - 5q + 2 = 0.

Находим числа и проверяем

Корни: $q = 2$ и $q = \dfrac{1}{2}$ . Оба знаменателя дают один и тот же набор чисел, только в разном порядке:

$q = 2$ : $b_1 = 3$ , числа $3,\ 6,\ 12$ ;
$q = \dfrac{1}{2}$ : $b_1 = 12$ , числа $12,\ 6,\ 3$ .

Проверка: $3 + 6 + 12 = 21$ , $\ 9 + 36 + 144 = 189$ . Верно.

Ответ: числа $3,\ 6,\ 12$ (в том или обратном порядке).

Пример 4. Бесконечно убывающая ГП

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $6 + 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \ldots$ , а затем переведите периодическую дробь $0{,}(36)$ в обыкновенную как сумму бесконечно убывающей ГП.

Пример 5. Смешанный тип: арифметическая ↔ геометрическая

Три числа образуют арифметическую прогрессию, причём её средний член равен $6$ . Если к третьему числу прибавить $8$ , оставив первые два без изменения, то полученные три числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Симметричное обозначение

Так как средний член арифметической прогрессии равен $6$ , удобно обозначить три числа симметрично относительно него:

6 - d,\quad 6,\quad 6 + d.

Числовая прямая с тремя точками арифметической тройки, запис

Уравнение на $d$

Прибавляем $8$ к третьему числу. Новая тройка:

6 - d,\quad 6,\quad 14 + d.

Она образует геометрическую прогрессию. По характеристическому свойству ГП квадрат среднего члена равен произведению крайних:

6^2 = (6 - d)(14 + d).

Раскрываем:

36 = 84 + 6d - 14d - d^2 = 84 - 8d - d^2.

d^2 + 8d - 48 = 0.

Корни: $d = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} = \dfrac{-8 \pm 16}{2}$ , то есть $d = 4$ или $d = -12$ .

Отбор корней (письменно)

Оба значения дают допустимые прогрессии — проверим:

$d = 4$ : исходная АП $\ 2,\ 6,\ 10$ ; после прибавления $8$ — числа $2,\ 6,\ 18$ , и это ГП со знаменателем $q = 3$ (члены ненулевые). Подходит.
$d = -12$ : исходная АП $\ 18,\ 6,\ -6$ ; после прибавления $8$ — числа $18,\ 6,\ 2$ , и это ГП со знаменателем $q = \dfrac{1}{3}$ . Подходит.

Оба корня дают корректные прогрессии (нигде нет нулевых членов и $q \neq 0$ ), поэтому оба ответа годятся.

Ответ: $\ 2,\ 6,\ 10\$ или $\ 18,\ 6,\ -6$ .

Пример 6. Текстовая задача: вклад как геометрическая прогрессия

В начале каждого года вкладчик кладёт на счёт $1000$ рублей. Банк в конце каждого года начисляет $10\%$ на всю сумму, лежащую на счёте. Какая сумма будет на счёте сразу после третьего начисления процентов?

Пример 7. Распад на случаи

q = 1

q \neq 1

Дана геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 5$ и знаменателем $q = x - 2$ , где $x$ — параметр. Известно, что сумма первых трёх членов равна $15$ . Найдите все значения $x$ .

В ДВИ очень популярны задачи, где алгебра прогрессий пересекается со свойствами целых чисел (делимость, оценки). Здесь требуется максимальная строгость рассуждений.

Пример 8. Прогрессии и теория чисел

Натуральные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n$ , если известно, что $n > 1$ , $n$ нечётно, а сумма членов этой прогрессии равна $425$ .

Сумма через центральный член

Запишем формулу суммы $n$ членов:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 425.

Так как $n$ — нечётное число, выражение $\dfrac{n+1}{2}$ является целым, то есть в прогрессии есть ровно один центральный член с номером $k = \dfrac{n+1}{2}$ . По свойству арифметической прогрессии $a_1 + a_n = 2 a_k$ . Подставим это в формулу суммы:

S_n = \frac{2a_k}{2} \cdot n = a_k \cdot n = 425.

Делители числа $425$

Поскольку все члены прогрессии натуральные, $a_k \in \NN$ . Значит, $n$ должно быть делителем числа $425$ . Разложим $425$ на простые множители: $425 = 25 \cdot 17 = 5^2 \cdot 17$ . Делители $425$ : $1, 5, 17, 25, 85, 425$ . По условию $n > 1$ , значит, возможные кандидаты для $n$ : $5, 17, 25, 85, 425$ .

Оценка для центрального члена

Проверим каждого кандидата. По условию прогрессия строго возрастает ( $d \geqslant 1$ , так как числа натуральные) и $a_1 \geqslant 1$ . Выразим центральный член $a_k$ через $a_1$ и $d$ :

a_k = a_1 + (k - 1)d = a_1 + \left(\frac{n+1}{2} - 1\right)d = a_1 + \frac{n-1}{2}d.

Так как $a_1 \geqslant 1$ и $d \geqslant 1$ , получаем оценку для $a_k$ :

a_k \geqslant 1 + \frac{n-1}{2} \cdot 1 = \frac{n+1}{2}.

С другой стороны, из уравнения $a_k \cdot n = 425$ следует, что $a_k = \dfrac{425}{n}$ . Получаем неравенство:

\frac{425}{n} \geqslant \frac{n+1}{2} \implies n(n+1) \leqslant 850.

Перебор кандидатов

Проверяем кандидатов:

Если $n = 85$ : $85 \cdot 86 = 7310 > 850$ . Не подходит (оценка нарушена, $a_k = 5$ , но для $n=85$ центральный член не может быть меньше $\dfrac{85+1}{2} = 43$ ).
Если $n = 425$ : аналогично не подходит.
Если $n = 25$ : $25 \cdot 26 = 650 \leqslant 850$ . Проверим реализуемость: нужен центральный член $a_{13} = 425 / 25 = 17$ . По формуле $a_{13} = a_1 + 12d = 17$ . В натуральных числах это возможно, например: $d=1, a_1=5$ . Подходит.
Если $n = 17$ : $a_9 = 425 / 17 = 25$ . $a_1 + 8d = 25$ . Возможно (например, $d=1, a_1=17$ ). Подходит.
Если $n = 5$ : $a_3 = 425 / 5 = 85$ . $a_1 + 2d = 85$ . Возможно (например, $d=1, a_1=83$ ). Подходит.

Ответ: $5, 17, 25$ .

СОВЕТ

Суммы натуральных, чётных, нечётных — частные случаи АП

Эти три суммы — арифметические прогрессии с $a_1 = d$ или $a_1 = 1$ ; их полезно знать наизусть для комбинированных задач теории чисел:

1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2,

2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1).

Например, сумма первых $n$ нечётных чисел всегда точный квадрат — это часто становится ключом в задачах на делимость и оценки (как в Примере 8).

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака корня при характеристическом свойстве ГП

Ошибка: из $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$ сразу писать $b_2 = \sqrt{b_1 b_3}$ , беря только положительный корень. Правильно: $b_2 = \pm\sqrt{b_1 b_3}$ — корня два. Например, если $b_1 = 2$ , $b_3 = 18$ , то $b_2^2 = 36$ , и без дополнительных условий годятся оба: $b_2 = 6$ (тогда $q = 3$ : прогрессия $2, 6, 18$ ) и $b_2 = -6$ (тогда $q = -3$ : прогрессия $2, -6, 18$ ). Отбрасывать отрицательный корень можно только если условие требует положительности/возрастания — и это нужно явно написать.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря отрицательного знаменателя

q < 0

Ошибка: найдя из уравнения два значения $q$ (например, $q = 3$ и $q = -2$ ), молча оставить только положительное. Правильно: знаменатель ГП может быть любым числом $q \neq 0$ , в том числе отрицательным (прогрессия знакочередующаяся). Отрицательный корень отбрасывают только при явном запрете в условии («прогрессия из положительных чисел», «возрастающая» и т.п.). Если запрета нет — оба корня дают ответы (см. Пример 7: $q = -2$ — полноценное решение).

Что запомнить

Любую задачу можно решить «в лоб», расписав все члены через $a_1$ и $d$ (или $b_1$ и $q$ ).
В геометрической прогрессии деление уравнений системы друг на друга — главный метод избавления от $b_1$ (см. Пример 3); перед делением проверяй, что делитель $\neq 0$ .
Для бесконечно убывающей ГП ( $|q| < 1$ ) сумма равна $\dfrac{b_1}{1 - q}$ — этим переводят периодические дроби и считают бесконечные суммы (Пример 4).
Смешанные задачи (числа образуют то АП, то ГП) решаются совместным применением обоих характеристических свойств; тройку чисел в АП удобно записывать симметрично: «средний $\pm d$ » (Пример 5).
Сложные проценты и регулярные вклады — это замаскированная геометрическая прогрессия (Пример 6).
Характеристическое свойство ГП даёт $b_k = \pm\sqrt{\ldots}$ — не теряй знак корня и отрицательный $q$ .
В задачах, где фигурирует «сумма с $k$ -го по $m$ -й член», используй разность сумм: $S_m - S_{k-1}$ (важно: именно $S_{k-1}$ , а не $S_k$ ).
Если прогрессия состоит из целых/натуральных чисел, применяй неравенства для оценки её членов (как в Примере 8). Суммы натуральных/чётных/нечётных — частные случаи АП.

Оформление под рубрику ДВИ

На письменном ДВИ оценивают не финальное число, а полноту и строгость рассуждений. За один и тот же ответ можно получить полный балл или «минус» — разница именно в оформлении.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения задачи на прогрессию

Введи обозначения явно. Напиши, что обозначают $a_1, d$ (или $b_1, q$ ), и сразу зафиксируй ограничения: для ГП — $b_1 \neq 0$ , $q \neq 0$ ; если по условию прогрессия положительная/возрастающая — выпиши это отдельной строкой.
Переведи условие в систему уравнений, расписав каждый упомянутый член по формуле $n$ -го члена.
Реши систему, поясняя ключевые шаги (деление уравнений — с оговоркой о ненулевом делителе; распад на случай $q = 1$ — отдельным абзацем).
Отбери корни письменно. Для КАЖДОГО найденного корня явно проверь условия задачи и одной фразой обоснуй, оставляешь ты его или отбрасываешь.
Сделай проверку (подстановка в исходное условие) и запиши ответ.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на прогрессиях

Не разобран случай $q = 1$ при переменном знаменателе — минус за неполноту (Пример 7).
Молчаливый отбор корней — отброшен корень без обоснования, потерян отрицательный $q$ или знак $\pm\sqrt{\ }$ .
Деление уравнений без проверки делителя на ноль — формально потеряны решения.
Не указаны ограничения $b_1 \neq 0$ , $q \neq 0$ в начале (для ГП) — придирка, но на строгих факультетах учитывается.
Нет проверки/подстановки в конце — на текстовых и теоретико-числовых задачах проверка часто обязательна.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Задачи на чистые прогрессии без текстовой оболочки часто ставят в первой половине варианта. Они требуют идеальной арифметики. Перепроверяй корни квадратных уравнений по теореме Виета.
Если в задаче на прогрессию возникают неравенства или условия вроде «все члены натуральные», не пытайся найти точное решение алгебраически. Вырази одну переменную через другую и используй делимость или метод оценки.
Тройку чисел в АП записывай симметрично («средний $\pm d$ »), тройку в ГП — как $\dfrac{b}{q}, b, bq$ : это сразу убирает лишние неизвестные.
Листа с формулами на экзамене нет. Формулы суммы, $n$ -го члена, суммы бесконечно убывающей ГП и оба характеристических свойства нужно знать на уровне мышечной памяти.

Проверь себя

Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с $b_1 = 6$ и $q = \dfrac{1}{3}$ ?
Из $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$ при $b_1 = 2$ , $b_3 = 18$ следует, что $b_2$ равно:
Сколько членов в сумме $1 + q + q^2 + \ldots + q^k$ ?
Знаменатель ГП задан как $q = x - 2$ , и нужна сумма первых трёх членов. Какой случай обязательно разобрать отдельно перед применением формулы $S_n = b_1\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ ?

Прогрессии

Суть и базовые понятия

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Универсальный алгоритм решения

Примеры решения задач

Переводим суммы в уравнения

Решаем систему

Считаем $S_{15}$

Составляем уравнение на $q$

Отбираем корень

Считаем отношение сумм

Составляем систему

Делим уравнения

Решаем упрощённую систему

Находим числа и проверяем

Часть 1. Сумма ряда

Часть 2. Периодическая дробь

Симметричное обозначение

Уравнение на $d$

Отбор корней (письменно)

Следим за каждым взносом

Сумма как геометрическая прогрессия

Вычисление и проверка

Почему нужны два случая

Случай 1: $q = 1$

Случай 2: $q \neq 1$

Проверка и ответ

Сумма через центральный член

Делители числа $425$

Оценка для центрального члена

Перебор кандидатов

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Стратегия на ДВИ

Прогрессии

Суть и базовые понятия

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Универсальный алгоритм решения

Примеры решения задач

Переводим суммы в уравнения

Решаем систему

Считаем S15S_{15}S15​

Составляем уравнение на qqq

Отбираем корень

Считаем отношение сумм

Составляем систему

Делим уравнения

Решаем упрощённую систему

Находим числа и проверяем

Часть 1. Сумма ряда

Часть 2. Периодическая дробь

Симметричное обозначение

Уравнение на ddd

Отбор корней (письменно)

Следим за каждым взносом

Сумма как геометрическая прогрессия

Вычисление и проверка

Почему нужны два случая

Случай 1: q=1q = 1q=1

Случай 2: q≠1q \neq 1q=1

Проверка и ответ

Сумма через центральный член

Делители числа 425425425

Оценка для центрального члена

Перебор кандидатов

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Стратегия на ДВИ

Считаем $S_{15}$

Составляем уравнение на $q$

Уравнение на $d$

Случай 1: $q = 1$

Случай 2: $q \neq 1$

Делители числа $425$