Часть 1, задание 13: Симметрические выражения

Содержание

Задание 13 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 13 базовой части ДВИ

Тринадцатое задание базовой части — симметрические выражения. Тебе дают не сами числа, а их сумму и произведение (или одну готовую комбинацию), и просят значение выражения, составленного из тех же чисел. Итог в обеих задачах банка — одно число: $\dfrac{14}{25}$ и $-9$ .

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

Задач в слоте всего две, и обе построены на одной идее: сами числа находить не надо. В 18712 дана система $x+y=2$ , $xy=-5$ — и её не решают. В 20722 дано условие $x^{2}+\dfrac{25}{x^{2}}=91$ — и $x$ из него тоже не ищут. Искомое выражается через то, что уже дано, за две-три строки.

Приёма, встретившегося дважды, в слоте нет: одна задача про две переменные, другая про одну. Так что натренироваться повторением здесь не на чем — надо просто держать в голове короткий список тождеств.

СОВЕТ

Обе задачи держатся на одном и том же квадрате

(u\pm v)^{2}=u^{2}+v^{2}\pm 2uv.

В 18712 это $u=x$ , $v=y$ : отсюда $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ , и по данным $s=2$ , $p=-5$ сразу считается всё остальное.

В 20722 это $u=x$ , $v=\dfrac5x$ — и здесь фокус: их произведение $x\cdot\dfrac5x=5$ не зависит от $x$ . Поэтому удвоенное произведение $2uv=10$ — просто число, и квадрат замены $t=x-\dfrac5x$ выражается через данную сумму $x^{2}+\dfrac{25}{x^{2}}$ ровно одним вычитанием.

Если запомнить из всего слота одну вещь — пусть это будет она: замена $t=x\pm\frac ax$ работает именно потому, что средний член квадрата оказывается константой.

Какие темы встречаются

Разбор обеих задач слота даёт два сюжета — по одному на задачу.

Симметрическая функция двух переменных через $s=x+y$ и $p=xy$ — 1 задача из 2 (18712). Дана система, спрашивают $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}$ .
Замена $t=x-\dfrac{a}{x}$ — 1 задача из 2 (20722). Дано $x^{2}+\dfrac{25}{x^{2}}=91$ , спрашивают наименьшее значение $x-\dfrac{5}{x}$ .

Слот стоит читать вместе с соседним — заданием 8. Там тот же аппарат, но сумма и произведение восстанавливаются по коэффициентам квадратного уравнения (теорема Виета); здесь они даны в условии напрямую. Список тождеств один и тот же, поэтому выучить его выгодно вдвойне.

Различаются задачи одним важным местом. В 18712 ответ получается прямым вычислением и вопросов не вызывает. В 20722 после возведения в квадрат выходит $t^{2}=81$ , то есть два кандидата $\pm9$ , и просят наименьший — значит, придётся отдельно доказать, что $-9$ действительно достигается. Формула сама этого не говорит.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет

Нет $x^{3}+y^{3}$ и старших степеней — тождество знать надо, но в слоте оно не встретилось. Нет трёх переменных.

Нет систем, которые надо было бы решать: обе задачи устроены так, что решение системы — лишняя работа, а во второй системы и вовсе нет.

Нет замены $t=x+\dfrac{a}{x}$ со знаком плюс — встретился только минус. Нет несимметричных выражений вроде $x-y$ или $x^{2}-y^{2}$ : через $s$ и $p$ они однозначно не выражаются, только с точностью до знака.

Нет и требования, чтобы ответ был целым: в 18712 он равен $\dfrac{14}{25}$ . «Некрасивая» дробь здесь не улика.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Тождества ниже нужно уметь выписать по памяти — они и есть решение.

ВАЖНОЕ

Симметрические выражения через

s

p

Пусть $s=x+y$ и $p=xy$ . Тогда

x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p,\qquad x^{2}y^{2}=p^{2},\qquad (x-y)^{2}=s^{2}-4p,

\frac1x+\frac1y=\frac{s}{p},\qquad \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{s^{2}-2p}{p^{2}},\qquad x^{3}+y^{3}=s^{3}-3ps.

Две оговорки, которые стоит проговаривать вслух:

Дробные выражения требуют $p\ne0$ . Если $xy=0$ , хотя бы одно из чисел нулевое, и $\frac{1}{x^{2}}$ не существует.
$(x-y)^{2}=s^{2}-4p$ даёт только $|x-y|$ , а не саму разность: знак через $s$ и $p$ не восстанавливается, потому что $x$ и $y$ равноправны.

Проверить существование самих чисел тоже несложно: $x$ и $y$ — корни уравнения $t^{2}-st+p=0$ , и действительны они при $s^{2}-4p\geqslant0$ .

ВАЖНОЕ

Замена

t=x-\dfrac{a}{x}

t^{2}=\left(x-\frac{a}{x}\right)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot\frac{a}{x}+\frac{a^{2}}{x^{2}}=x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}-2a.

Средний член равен $-2a$ — константе: множители $x$ и $\frac ax$ дают в произведении $a$ , и переменная исчезает. Отсюда связь, работающая в обе стороны:

x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}=t^{2}+2a.

Для суммы всё то же самое, только знак другой:

\left(x+\frac{a}{x}\right)^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}+2a.

В задаче 20722 $a=5$ , поэтому $2a=10$ : из $x^{2}+\frac{25}{x^{2}}=91$ сразу следует $t^{2}=91-10=81$ .

ВАЖНОЕ

Из

t^{2}=c

ответ ещё не следует

Равенство $t^{2}=81$ даёт $t=\pm9$ — это два кандидата, а не два ответа. Прежде чем объявить наименьшим значение $-9$ , надо убедиться, что оно достижимо: существует ли $x$ , при котором выполнено и исходное условие, и $t=-9$ .

Проверка короткая. Подставляем кандидата в определение замены:

x-\frac{a}{x}=t \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-tx-a=0,

и смотрим на дискриминант $D=t^{2}+4a$ . Если $D\geqslant0$ , корни есть, и для них исходное условие выполняется автоматически — ведь оно равносильно $t^{2}=c$ .

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18712

Дана система уравнений

\begin{cases} x+y=2, \\ xy=-5. \end{cases}

Найдите $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}$ .

Приводим к общему знаменателю

\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}y^{2}}.

Выражение определено: $xy=-5\ne0$ , значит ни $x$ , ни $y$ не равны нулю. Теперь и числитель, и знаменатель — симметрические, и оба выражаются через данные.

Числитель через сумму и произведение

x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=2^{2}-2\cdot(-5)=4+10=14.

Вот здесь стоит остановиться. Произведение отрицательно, поэтому $-2xy=-2\cdot(-5)=+10$ : вычитание отрицательного даёт прибавление. Ошибка знака в этом месте даёт $4-10=-6$ — сумма квадратов вышла бы отрицательной, что невозможно и что сразу видно.

Знаменатель

x^{2}y^{2}=(xy)^{2}=(-5)^{2}=25.

Квадрат гасит знак — минуса здесь быть не может.

Складываем

\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{14}{25}.

Независимая проверка

Числа $x$ и $y$ — корни уравнения $t^{2}-2t-5=0$ , то есть $1\pm\sqrt6$ (они действительны: $s^{2}-4p=4+20=24>0$ ). Тогда $(1\pm\sqrt6)^{2}=7\pm2\sqrt6$ , и

\frac{1}{7-2\sqrt6}+\frac{1}{7+2\sqrt6}=\frac{(7+2\sqrt6)+(7-2\sqrt6)}{49-24}=\frac{14}{25}.

Сходится. Заметь, во что обошлась «честная» дорога: два радикала, сопряжённые знаменатели и вчетверо больше письма — при том же ответе.

Пример 2. Задача 20722

Найдите наименьшее значение, которое может принимать выражение $x-\dfrac{5}{x}$ , если известно, что $x^{2}+\dfrac{25}{x^{2}}=91$ .

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Система решена, хотя решать её не просили

Ошибка: из $x+y=2$ , $xy=-5$ найти $x=1+\sqrt6$ , $y=1-\sqrt6$ и подставлять радикалы в исходное выражение. Правильно: это не запрещено и приводит к тому же ответу $\frac{14}{25}$ — просто дороже вчетверо и с сопряжёнными знаменателями, где легко ошибиться. Весь смысл слота в том, чтобы выразить искомое через $s$ и $p$ и не трогать сами числа. Держи «честный» путь про запас — как независимую проверку, а не как основной ход.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Спросили выражение, а не сами числа? Тогда решать систему не надо — надо выразить искомое через $s=x+y$ и $p=xy$ .
Привёл к симметричному виду? Дробное выражение — к общему знаменателю; числитель и знаменатель по отдельности выражаются через $s$ и $p$ .
Применил $x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p$ , следя за знаком $p$ ? При отрицательном произведении $-2p$ прибавляется.
Проверил, что сумма квадратов неотрицательна? Отрицательный результат — верный признак потерянного знака.
Оговорил $p\ne0$ , если в выражении есть $\frac1x$ или $\frac{1}{x^{2}}$ ?
В замене $t=x-\frac ax$ не потерял $-2a$ ? Средний член — константа, а не ноль.
Из $t^{2}=c$ выписал оба кандидата $\pm\sqrt c$ ?
Проверил достижимость того кандидата, который объявляешь ответом? Подставь его в $x-\frac ax=t$ и посмотри на дискриминант.
Ответ не обязан быть целым. В 18712 он равен $\frac{14}{25}$ — дробь здесь законна.
Есть время — сверься «в лоб»? Найди $x$ и $y$ как корни $t^{2}-st+p=0$ и подставь. Долго, зато полностью независимо.

Проверь себя

Дано $x+y=2$ и $xy=-5$ . Чему равно $x^{2}+y^{2}$ ?
Чему равно $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}$ ?
Чему равно $\left(x-\dfrac{5}{x}\right)^{2}$ ?
Получилось $t^{2}=81$ , и просят наименьшее значение $t$ . Что писать?

Часть 1, задание 13: Симметрические выражения

Задание 13 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Приводим к общему знаменателю

Числитель через сумму и произведение

Знаменатель

Складываем

Независимая проверка

Вводим замену

Подставляем данное условие

Проверяем, что $-9$ достижимо

Ответ

Типичные ошибки

Чек-лист

Часть 1, задание 13: Симметрические выражения

Задание 13 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Приводим к общему знаменателю

Числитель через сумму и произведение

Знаменатель

Складываем

Независимая проверка

Вводим замену

Подставляем данное условие

Проверяем, что −9-9−9 достижимо

Ответ

Типичные ошибки

Чек-лист

Проверяем, что $-9$ достижимо