Часть 1, задание 4: Логарифмы

Содержание

Задание 4 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 4 базовой части ДВИ

Четвёртое задание базовой части — логарифмы. Из 12 задач банка девять просят вычислить значение громоздкого выражения, а три — решить логарифмическое уравнение. Итог в обоих случаях — одно число.

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

Ключ ко всему слоту — одна мысль. Логарифм считается устно ровно тогда, когда аргумент и основание оказываются степенями одного и того же числа. Составитель это знает и специально прячет родство: пишет $343$ вместо $7^3$ , $196$ вместо $14^2$ , $0{,}027$ вместо $0{,}3^3$ , $\frac{1}{81}$ вместо $3^{-4}$ . Первое движение в любой задаче слота — разложить все числа на степени.

Второй ключ работает в уравнениях: там второй шаг — всегда проверка ОДЗ, и в двух задачах из трёх она отбрасывает ровно один из двух найденных корней. Не проверил — ответ гарантированно неверен.

СОВЕТ

«Целое число» — это условие, а не вежливость

Требование «целое число» стоит в 7 задачах слота из 12 (формулировки чуть разные: «найдите», «определите», «найдите в явном виде»), и в каждой ответ действительно целый: от $2$ до $11$ . Получил дробь — ищи ошибку, а не округляй.

Обратное неверно. Там, где сказано просто «найдите значение выражения», целое не обещано: задача 20725 даёт ровно $121{,}5$ . И в уравнениях никаких обещаний нет вовсе — 20726 отвечает $0{,}9$ . Красивый ответ — улика только в связке с формулировкой.

Какие темы встречаются

Разбор всех 12 задач слота даёт пять сюжетов.

Отношение двух логарифмов, где степенью является то аргумент, то основание — 3 задачи из 12 (18584, 18599, 18614). Один шаблон, повторённый трижды: число плюс-минус дробь $\dfrac{\log_a a^k}{\log_{a^m} a}$ . В числителе степень стоит в аргументе и выносится множителем; в знаменателе — в основании и выносится делителем. Вся задача в том, чтобы не перепутать эти два места.
Цепочка произведений логарифмов с переходом к общему основанию — 3 задачи из 12 (18649, 18667, 21000). Переводим все логарифмы к одному основанию — и они сокращаются подчистую, оставляя рациональный множитель.
Логарифмические уравнения с ОДЗ — 3 задачи из 12 (18650, 18706, 20726). Три разных схемы: равенство логарифмов с одинаковым основанием, с разными основаниями и логарифм с переменной в основании.
Логарифм в показателе степени — 2 задачи из 12 (18641, 20725). Работает основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ .
Оценка логарифма целыми границами — 1 задача из 12 (18713). Выражение сначала сворачивается в один логарифм, потом зажимается между соседними степенями основания.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет и что есть неожиданного

Нет логарифмических неравенств — ни одного. Нет логарифмов с переменной и в основании, и в аргументе одновременно. Нет замены $t=\log_a x$ и сведения к квадратному уравнению. Натуральный логарифм появляется только как рабочий инструмент перехода к общему основанию — вместо него годится любое удобное.

Зато есть неожиданное: в задаче 18641 внутри логарифмического выражения стоит $\tg\dfrac{5\pi}{6}$ . Табличные значения тригонометрических функций и формулы приведения нужны и здесь, а не только в своих слотах.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Всё ниже нужно уметь воспроизвести по памяти.

ВАЖНОЕ

Определение и два тождества

Для $a>0$ , $a \neq 1$ , $b>0$ :

\log_a b = c \iff a^c = b.

Отсюда два тождества, которые закрывают половину вычислительных задач слота:

a^{\log_a b} = b \qquad\text{(основное логарифмическое тождество)}, \qquad \log_a a^k = k.

Второе и есть весь расчёт в числителях: $\log_7 343 = \log_7 7^3 = 3$ , $\log_2 128 = \log_2 2^7 = 7$ , $\log_3 \dfrac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4$ .

ВАЖНОЕ

Степень в аргументе и степень в основании — разные вещи

\log_a b^{\,p} = p\log_a b, \qquad \log_{a^{q}} b = \dfrac{1}{q}\log_a b, \qquad\text{вместе}\qquad \log_{a^{q}} b^{\,p} = \dfrac{p}{q}\log_a b.

Показатель из аргумента выходит множителем, из основания — делителем. На этой развилке стоят три задачи слота целиком:

\log_{49} 7 = \dfrac12, \qquad \log_{16} 2 = \dfrac14, \qquad \log_{27} 3 = \dfrac13.

И сразу же — арифметическая ловушка: делить на такую дробь значит умножать на её обратную. $\dfrac{3}{1/2} = 6$ , а не $1{,}5$ .

ВАЖНОЕ

Переход к новому основанию

\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \quad (c>0,\ c \neq 1), \qquad \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c, \qquad \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}.

Основание $c$ выбираешь любое удобное. Приём для цепочек произведений: переведи все логарифмы к одному основанию и сокращай. Задача 18667 показывает это в чистом виде — учитывая $25=5^2$ , $27=3^3$ , $8=2^3$ :

2\log_2 5 \cdot \log_{25} 27 \cdot \log_3 8 = 2 \cdot \dfrac{\ln 5}{\ln 2} \cdot \dfrac{3\ln 3}{2\ln 5} \cdot \dfrac{3\ln 2}{\ln 3} = 9.

Все логарифмы сократились, осталось $2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 3$ .

ВАЖНОЕ

Сумма и разность логарифмов

Для $x>0$ , $y>0$ :

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy), \qquad \log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}.

Свёртка работает только при одинаковых основаниях. В задаче 18713 она превращает четырёхэтажную дробь в один логарифм:

\dfrac{\log_3 7{,}5 - \log_3 0{,}1}{\log_3 2{,}5 + \log_3 2} = \dfrac{\log_3 75}{\log_3 5} = \log_5 75,

причём последний переход — та же формула перехода к новому основанию, прочитанная справа налево.

ВАЖНОЕ

Три схемы логарифмических уравнений и их ОДЗ

\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x),\\ f(x) > 0.\end{cases}

Второе условие $g(x)>0$ проверять не нужно: оно следует из первых двух.

\log_a f(x) = c \iff f(x) = a^{c} \quad\text{(условие } f(x)>0 \text{ выполняется автоматически)}.

\log_{h(x)} c = k \iff \begin{cases} \bigl(h(x)\bigr)^{k} = c,\\ h(x) > 0,\\ h(x) \neq 1.\end{cases}

Третья схема — с переменной в основании, и запрет $h(x) \neq 1$ забывают чаще всего.

Если основания разные, их сначала уравнивают: $\log_9 t = \log_{3^2} t = \dfrac12 \log_3 t$ .

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18614

Найдите целое число, заданное выражением

20+\dfrac{\log_3 \frac{1}{81}}{\log_{27} 3}.

Пример 2. Задача 21000

Определите целое число, заданное выражением

11\log_2 8\cdot\log_8 0{,}5\cdot\log_2 0{,}5.

Пример 3. Задача 18706

Решите уравнение

\log_9(x+16)=\log_3(x-4).

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите произведение всех корней.

Пример 4. Задача 20726

Решите уравнение

\log_{3-3x}0{,}027=3.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите произведение всех корней.

Пример 5. Задача 18713

Найдите наименьшее целое число, превосходящее

\dfrac{\log_3 7{,}5-\log_3 0{,}1}{\log_3 2{,}5+\log_3 2}.

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на дробь превратилось в умножение на неё

Ошибка: посчитав $\log_7 343 = 3$ и $\log_{49}7 = \dfrac12$ , записать $\dfrac{3}{1/2} = 1{,}5$ и получить ответ $10{,}5$ вместо $6$ .

Правильно: делить на $\dfrac1m$ — то же, что умножать на $m$ . Так $\dfrac{3}{1/2} = 6$ , $\dfrac{7}{1/4} = 28$ , $\dfrac{-4}{1/3} = -12$ . Формулировка «найдите целое число» здесь работает как страховка: получил $10{,}5$ — значит, ошибся, и искать надо именно в этом месте.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Решил уравнение и забыл проверить ОДЗ

Ошибка: в задаче 18650 получить $x^2 = 16$ , выписать оба корня $\pm4$ и сложить их: «сумма равна $0$ ».

Правильно: равенство логарифмов требует положительности аргумента: $10-5x>0$ , то есть $x<2$ . Корень $x=4$ отбрасывается, остаётся $x=-4$ . То же в 18706: из $x=0$ и $x=9$ условие $x>4$ оставляет только $9$ . В обеих задачах ОДЗ убирает ровно один корень из двух — без проверки ответ гарантированно неверен.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

У переменного основания проверил только положительность

Ошибка: в задаче 20726 выписать ОДЗ как $3-3x>0$ и на этом остановиться.

Правильно: основание логарифма не бывает равно единице — иначе $\log_1 c$ не определён ни при каком $c \neq 1$ . Условий два: $3-3x>0$ и $3-3x \neq 1$ . Здесь запрет не сработал ( $x = 0{,}9 \neq \dfrac23$ ), но проверка обязана быть выписана: в родственных задачах именно она отсекает лишний корень.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Записал одно число без выкладок

Ошибка: посчитать выражение устно и написать в работе только « $6$ » — «ведь ответ и есть число».

Правильно: базовая часть ДВИ письменная, и голое число не засчитывается, даже если оно верное. Достаточно трёх строк: разложил числа на степени, посчитал каждый логарифм, свёл арифметику. В уравнениях сюда же обязательно входит выписанное ОДЗ и явный отсев постороннего корня — без этой строки решение неполно, даже когда итоговое число правильное.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Свернул произведение логарифмов как сумму

Ошибка: написать $\log_a b \cdot \log_a c = \log_a (bc)$ и «упростить» задачу 18667 одним движением.

Правильно: в произведение аргументов сворачивается сумма логарифмов, а не произведение. Для произведений работает переход к общему основанию: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ — обрати внимание, что там основание второго логарифма совпадает с аргументом первого. В цепочках 18649, 18667, 21000 надёжнее всего перевести все логарифмы к одному основанию дробями и сократить.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Разложил все числа на степени? $343=7^3$ , $196=14^2$ , $128=2^7$ , $0{,}5=2^{-1}$ , $0{,}027=0{,}3^3$ , $\frac{1}{81}=3^{-4}$ . Пока это не сделано, задача выглядит сложнее, чем есть.
Проверил, где стоит показатель? В аргументе — выходит множителем, в основании — делителем.
Не спутал деление на дробь с умножением? $\dfrac{k}{1/m} = km$ .
Для произведения логарифмов перешёл к одному основанию? Основание бери любое удобное — всё равно сократится.
Выписал ОДЗ уравнения ДО решения? Аргумент $>0$ ; если переменная в основании, то ещё $>0$ и $\neq 1$ .
Отсеял посторонние корни? В обоих уравнениях слота с двумя корнями лишним оказывался ровно один.
Уравнял основания, если они разные? $\log_9 t = \dfrac12\log_3 t$ .
Для оценки зажал выражение между соседними степенями? Приближённое значение логарифма не годится — нужны границы.
Проверил ответ формулировкой? «Целое число» обещает целое; «найдите значение выражения» и «решите уравнение» не обещают ничего.
Записал ход, а не только результат? Работа письменная: нужны разложение на степени, посчитанные логарифмы, ОДЗ и отсев посторонних корней.

Проверь себя

Чему равен $\log_{27} 3$ ?
Уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно...
Какое условие на основание забывают в уравнении $\log_{3-3x} 0{,}027 = 3$ ?
Между какими целыми числами лежит $\log_5 75$ ?

Часть 1, задание 4: Логарифмы

Задание 4 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Числитель: степень стоит в аргументе

Знаменатель: степень стоит в основании

Делим на дробь — то есть умножаем на обратную

Складываем

Всё — степени двойки

Считаем три логарифма

Перемножаем

Сначала ОДЗ

Уравниваем основания

Снимаем логарифмы

Отсеиваем по ОДЗ

ОДЗ переменного основания — два условия, а не одно

Переходим по определению логарифма

Снимаем куб

Проверяем ОДЗ

Сворачиваем числитель и знаменатель

Читаем дробь как переход к новому основанию

Зажимаем между соседними степенями пятёрки

Типичные ошибки

Чек-лист