Тригонометрические уравнения

Сводим к одной функции

В уравнении две функции, но они связаны тождеством. Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы осталась одна функция:

Решаем квадратное уравнение

Пусть $t = \sin x$, причём $|t| \leqslant 1$. Получаем $2t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1 + 8 = 9$, корни:

Оба корня удовлетворяют $|t|\leqslant 1$ — оставляем оба.

Возвращаемся к $x$

Возвращаемся к $x$:

1. $\sin x = 1$ — частный случай: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ$.
2. $\sin x = -\dfrac{1}{2} \implies x = (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \ZZ$ (то же, что $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k$).

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

Сворачиваем сумму в произведение

Слагаемые с аргументами $x$ и $5x$ выбраны не случайно: их полусумма $\dfrac{x + 5x}{2} = 3x$ совпадает с аргументом среднего слагаемого. Свернём «крайние» синусы в произведение:

Выносим общий множитель

Подставляем и выносим общий множитель $\sin 3x$:

Решаем простейшие уравнения

Произведение равно нулю — разбиваем на два простейших уравнения:

1. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \dfrac{\pi n}{3}, \quad n \in \ZZ$.
2. $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\dfrac{1}{2} \implies 2x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \ZZ$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi n}{3}, \quad x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

(На чистовике стоит отметить, что серия $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k$ частично перекрывается с $x = \dfrac{\pi n}{3}$: значения $\pm\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3},\dots$ входят в обе, но это не ошибка — объединять серии в одну здесь не обязательно.)

Вводим вспомогательный угол

Коэффициенты $a = 3$, $b = 4$ — нетабличные, но $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. Вынесем $5$ за скобку:

где угол $\varphi$ задан системой $\cos\varphi = \dfrac{3}{5}$, $\sin\varphi = \dfrac{4}{5}$ (оба положительны, значит $\varphi$ — угол первой четверти, $\varphi = \arctg\dfrac{4}{3}$).

Решаем частный случай

Уравнение приняло вид $5\sin(x + \varphi) = 5 \iff \sin(x + \varphi) = 1$. Это частный случай:

Угол $\arctg\dfrac{4}{3}$ нетабличный, поэтому он остаётся в ответе — это не ошибка и не недоведённое решение.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} - \arctg\dfrac{4}{3} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ$.

Проверяем теряемую серию

Шаг 0 (обязателен). Проверим серию, которую теряет подстановка: $x = \pi + 2\pi n$. Тогда $\sin x + \cos x = 0 + (-1) = -1 \neq 1$. Значит, эта серия корнем не является — ничего вручную добавлять не придётся, но проверку записать необходимо.

Делаем универсальную подстановку

Замена $t = \tg\dfrac{x}{2}$. Подставляем выражения для $\sin x$ и $\cos x$:

Знаменатель $1 + t^2 > 0$ при любом $t$, поэтому домножаем на него без потери корней:

Отсюда $t = 0$ или $t = 1$.

Возвращаемся к $x$

Возвращаемся к $x$:

1. $\tg\dfrac{x}{2} = 0 \implies \dfrac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n, \quad n \in \ZZ$.
2. $\tg\dfrac{x}{2} = 1 \implies \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ$.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

(Это же уравнение быстрее решается методом вспомогательного угла: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$. Универсальная подстановка приведена как иллюстрация метода — на экзамене выбирай более короткий путь, но всегда помни про проверку потерянной серии.)

Оцениваем обе части

Каждое слагаемое ограничено: $\cos 2x \leqslant 1$ и $\cos x \leqslant 1$, поэтому их сумма $\cos 2x + \cos x \leqslant 2$. Равенство $= 2$ достижимо только если оба косинуса одновременно равны своему максимуму $1$. Получаем систему:

Пересекаем серии

Решением системы являются только те $x$, что входят в обе серии. Серия $x = 2\pi k$ целиком содержится в $x = \pi n$ (при чётном $n$), поэтому пересечение — это $x = 2\pi k$.

Проверка: при $x = 2\pi k$ имеем $\cos 2x + \cos x = 1 + 1 = 2$ — верно.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad k \in \ZZ$.

Приводим к однородному

Правая часть — число $1 \neq 0$. Заменим $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и перенесём всё в левую часть:

Получили однородное уравнение 2-й степени со старшим коэффициентом $A = 2 \neq 0$.

Обосновываем деление и делим

Проверка деления. Пусть $\cos x = 0$. Подставим в полученное уравнение: $2\sin^2 x + 0 - 0 = 0 \implies \sin x = 0$. Но $\sin$ и $\cos$ не равны нулю одновременно — противоречие. Значит $\cos x \neq 0$, делим на $\cos^2 x$:

Решаем квадратное относительно тангенса

Пусть $t = \tg x$: $2t^2 + t - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1 + 24 = 25$, корни:

Возвращаемся к $x$

Возвращаемся к $x$:

1. $\tg x = 1 \implies x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \ZZ$.
2. $\tg x = -\dfrac{3}{2} \implies x = \arctg\!\left(-\dfrac{3}{2}\right) + \pi k = -\arctg\dfrac{3}{2} + \pi k, \quad k \in \ZZ$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = -\arctg\dfrac{3}{2} + \pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

Доказываем законность деления

Перед нами однородное уравнение второй степени. Разделим его на $\cos^2 x$.

Обоснование: Пусть $\cos x = 0$. Подставим это в уравнение:

Но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю (так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). Полученное противоречие доказывает, что корни уравнения не могут обращать $\cos x$ в нуль. Значит, деление на $\cos^2 x$ законно.

Делим и сводим к тангенсу

Делим обе части на $\cos^2 x$:

Решаем квадратное и возвращаемся к $x$

Пусть $t = \tg x$. Тогда $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Возвращаемся к переменной $x$:

1. $\tg x = 1 \implies x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \ZZ$.
2. $\tg x = 2 \implies x = \arctg 2 + \pi k, \quad k \in \ZZ$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \arctg 2 + \pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

Переходим к равносильной системе

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Распишем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ в числителе:

Это равносильно системе:

Решаем уравнение числителя

Решаем первое уравнение. Произведение равно нулю, значит:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \ZZ$.
2. $\cos x - \sin x = 0 \implies \tg x = 1 \implies x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \ZZ$.

Проверяем ОДЗ

Теперь проверим ОДЗ (второе условие системы):

• При $x = \pi n$, имеем $\sin(\pi n) + \cos(\pi n) = 0 \pm 1 = \pm 1 \neq 0$. Эти корни подходят.

• При $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$, тангенс равен $1$, значит синус и косинус равны друг другу (и не равны нулю). Их сумма $\sin x + \sin x = 2\sin x \neq 0$. Эти корни тоже подходят.

(Альтернативная проверка ОДЗ): Условие $\sin x + \cos x \neq 0$ равносильно $\tg x \neq -1$ (при $\cos x \neq 0$). Ни $\sin x = 0$, ни $\tg x = 1$ не противоречат этому условию.

Ответ: $x = \pi n, \quad x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

Сворачиваем левую часть вспомогательным углом

Применим метод вспомогательного угла к левой части. Вынесем за скобки $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$:

Разделим на $2$ и заменим числа на табличные значения тригонометрических функций. Удобно сворачивать в косинус, чтобы получить уравнение вида $\cos \alpha = \cos \beta$:

Преобразуем разность в произведение

Перенесём $\cos x$ влево и применим формулу разности косинусов:

Упрощаем аргументы синусов:

Решаем простейшие уравнения

Уравнение распадается на два простейших:

1. $\sin\left(\dfrac{3x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \dfrac{3x}{2} - \dfrac{\pi}{6} = \pi n \implies \dfrac{3x}{2} = \dfrac{\pi}{6} + \pi n \implies x = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2\pi n}{3}, \quad n \in \ZZ$.
2. $\sin\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \implies \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6} = \pi k \implies \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2\pi n}{3}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \ZZ$.

Решаем уравнение в общем виде

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi m$.

Уравнение: $\tg x = \sqrt{3} \implies x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \ZZ$. Все корни этой серии лежат в ОДЗ (тангенс существует), отдельная проверка не нужна.

Отбираем корни на интервале

Отбор на $(-\pi;\ 2\pi)$. Решаем двойное неравенство:

Целые $n$ в этом диапазоне: $n = -1,\ 0,\ 1$. Подставляем:

• $n = -1\!:\ x = \dfrac{\pi}{3} - \pi = -\dfrac{2\pi}{3}$;

• $n = 0\!:\ x = \dfrac{\pi}{3}$;

• $n = 1\!:\ x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}$.

Значения $n = -2$ ($x = -\dfrac{5\pi}{3}$) и $n = 2$ ($x = \dfrac{7\pi}{3}$) выходят за пределы интервала — отбрасываем.

Ответ: на интервале $(-\pi;\ 2\pi)$ корни $x = -\dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}$.