Часть 1, задание 8: Квадратное уравнение и теорема Виета

Собираем всё в левую часть

Общего множителя у $3$, $-9$ и $-11$ нет, делить не на что.

Проверяем, что корни существуют

Корня два. Заодно видно, что $213$ — не полный квадрат ($14^2=196$, $15^2=225$), значит корни иррациональны и искать их бессмысленно.

Теорема Виета

Ответ целый, хотя каждый корень по отдельности иррационален: в сумме радикалы взаимно уничтожаются — это и есть смысл слова «симметрическое».

Переносим и приводим подобные

Здесь общий множитель $2$ нашёлся, и уравнение стало приведённым.

Проверяем дискриминант

Сумма корней

Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ сумма равна $-p$, поэтому $x_1+x_2=-7$.

Контроль

$D$ оказался полным квадратом, так что здесь корни выписываются легко: $x=\frac{-7\pm17}{2}$, то есть $5$ и $-12$; сумма $5+(-12)=-7$ — совпало. Такой контроль стоит делать только когда $D$ — полный квадрат, иначе он дороже самой задачи.

Уравнение уже в стандартном виде

$a=4$, $b=-17$, $c=12$.

Корни существуют

Число $97$ простое, поэтому корни $\frac{17\pm\sqrt{97}}{8}$ иррациональны.

Произведение

Показательный случай: корни некрасивые, а их произведение — целое $3$. Прямая проверка даёт то же самое, но втрое длиннее: $\frac{17+\sqrt{97}}{8}\cdot\frac{17-\sqrt{97}}{8}=\frac{289-97}{64}=\frac{192}{64}=3$.

Две проверки перед началом

Корни существуют: $D=400-4\cdot12\cdot5=400-240=160>0$. И они ненулевые: свободный член $c=5\ne0$, значит $x_1x_2=\frac{5}{12}\ne0$ и обе дроби определены.

Приводим к общему знаменателю

Читаем $s$ и $p$ по теореме Виета

Делим

Тот же ответ короче: $\frac{s}{p}=-\frac{b}{c}=\frac{20}{5}=4$ — старший коэффициент сокращается сам, и дроби вообще не возникают.

Раскрываем квадрат разности

Подставляем сумму и произведение

$s=\frac{17}{5}$, $p=\frac{13}{5}$, поэтому

Та же величина через дискриминант

Это не второй независимый способ, а свёрнутая запись первого: формула $\frac{D}{a^2}$ ровно из $s^2-4p$ и получается. Но считать по ней быстрее — дискриминант ты всё равно уже посчитал, проверяя существование корней. И заметь: $D=29$ не полный квадрат, корни иррациональны, а квадрат их разности — аккуратная дробь.