Алгебраические уравнения

Суть темы и место на ДВИ

Под алгебраическими уравнениями на ДВИ понимают уравнения, левая и правая части которых построены из многочленов, дробей (отношений многочленов), радикалов и модулей — без участия тригонометрии, логарифмов и показательных функций. Сюда входят: квадратные и сводящиеся к ним, целые уравнения высших степеней, дробно-рациональные, иррациональные (с радикалами), биквадратные и трёхчленные, возвратные (симметричные) уравнения 4-й степени, однородные уравнения и уравнения с модулем.

На ДВИ по математике они встречаются как самостоятельные задачи (обычно под номерами 1–3) и как финальный этап решения более сложных уравнений (тригонометрических, логарифмических, показательных): после удачной замены почти любое экзаменационное уравнение «садится» на одно из перечисленных алгебраических.

В отличие от школы, на экзамене в МГУ уравнения часто замаскированы: они требуют не лобового приведения к общему знаменателю, а удачной группировки, применения теоремы Виета, замены переменной блоком, угадывания корня или контроля знака при возведении в степень. Лист формул на ДВИ не выдают — формулу корней квадратного уравнения, теорему Виета и приёмы отбора корней нужно уметь воспроизводить наизусть и обосновывать каждый шаг.

Базовый аппарат: квадратное уравнение (без листа формул)

Поскольку лист формул не выдаётся, зафиксируем фундамент, на котором держится вся тема. Любое квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) решается через дискриминант $D=b^2-4ac$:

Формула получается выделением полного квадрата: $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{D}{4a}$ (см. справочник, §1, «Квадратный трёхчлен»). Это полезно помнить как способ самопроверки, если формула вылетела из головы.

Основа алгебры на ДВИ — уверенная работа с квадратным трёхчленом $ax^2 + bx + c$. Если корни $x_1$ и $x_2$ существуют ($D \geqslant 0$), квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Квадратный трёхчлен и теорема Виета

Теорема Виета позволяет связывать коэффициенты уравнения с его корнями, не вычисляя сами корни. Это критически важно в задачах с параметрами и в симметрических выражениях.

Вывод за полстроки: подставив $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$, получаем $x_1+x_2=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$ и $x_1x_2=\dfrac{b^2-D}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$. Уметь воспроизвести этот вывод на ДВИ полезно: проверяющий ценит, что формула не «упала с неба».

Часто в задачах фигурируют суммы квадратов или кубов корней. Их нужно уметь выражать через сумму и произведение, чтобы применить теорему Виета. Запомни эти тождества как готовые блоки:

Уравнения высших степеней

Уравнения степени выше второй в общем виде не решаются школьными формулами. Если перед тобой кубическое уравнение (или выше) и не работает метод группировки, рабочий способ — угадать один корень и понизить степень, разделив многочлен на скобку $(x - x_0)$ (делением «уголком» или схемой Горнера).

Где искать корень: рациональная теорема о корнях

Точку опоры даёт теорема о рациональных корнях — её надо знать в полной (не только приведённой) форме.

Важное частное «приведённое» следствие: если старший коэффициент $a_n = 1$, то $q \mid 1$, значит $q=\pm 1$ и любой рациональный корень целый — его ищут среди делителей свободного члена $a_0$. Именно этот случай чаще всего и встречается, но на ДВИ попадаются и немонические уравнения вида $2x^3+\dots$, где корень может оказаться дробью $\tfrac{p}{q}$ — тогда без полной теоремы корень не найти.

Схема Горнера

Деление уголком надёжно, но под цейтнот ДВИ удобнее схема Горнера — она за один проход и проверяет, корень ли число $x_0$, и сразу выдаёт коэффициенты частного.

Это та же теорема Безу ($P(x)$ делится на $(x-x_0)$ $\iff P(x_0)=0$, см. справочник §1), записанная в виде удобной таблицы.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Это центральный и самый «опасный» подтип на ДВИ: при возведении в чётную степень уравнение перестаёт быть равносильным — могут появиться посторонние корни, а при неаккуратном делении — потеряться нужные. Ключевой принцип: радикал чётной степени неотрицателен, поэтому возведение в квадрат разрешено только когда обе части одного знака.

Условие $f(x)\geqslant 0$ в первом случае выполнится автоматически (оно следует из $f=g^2\geqslant 0$), а вот условие $g(x)\geqslant 0$ отбрасывать нельзя — именно оно отсеивает посторонние корни. Подробные схемы — см. справочник, §4 «Иррациональные уравнения».

Три рабочих метода:

• Возведение в степень с контролем знака правой части. Изолируй радикал, потребуй $g(x)\geqslant 0$, возведи в квадрат, реши, отбери корни по знаковому условию (или прямой подстановкой).
• Замена $t=\sqrt{\text{выражение}}\ (t\geqslant 0)$ — когда под корнем и вне корня стоит одно и то же выражение. Сводит к квадратному относительно $t$.
• Домножение на сопряжённое — для уравнений с разностью/суммой двух радикалов: $(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B$ убирает корни (см. справочник, §1 «Иррациональности»).

Пример 4. Один радикал: возведение в квадрат + контроль знака

Реши уравнение $\sqrt{2x-1} = x - 2$.

Пример 5. Два радикала

Реши уравнение $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+4} = 1$.

Пример 6. Замена $t=\sqrt{x}$

Реши уравнение $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$.

Биквадратные и трёхчленные уравнения

Уравнение, содержащее только чётные степени, $ax^4 + bx^2 + c = 0$, называют биквадратным. Замена $t = x^2$ при обязательном условии $t \geqslant 0$ сводит его к квадратному. Тот же приём — для любого «трёхчленного» уравнения вида $a\,f^2(x) + b\,f(x) + c = 0$ с заменой $t=f(x)$.

Пример 7. Биквадратное уравнение

Реши уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-й степени

Уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ называют возвратным (коэффициенты симметричны: $a,b,c,b,a$). Конспект сам обещает: «если получается многочлен 4-й степени без явных корней — ищи замену». Вот эта замена.

Поскольку $x = 0$ не корень (при $a\neq 0$ свободный член $a\neq 0$), можно разделить обе части на $x^2$ без потери корней:

Введём $y = x + \dfrac{1}{x}$. Тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$, и уравнение становится квадратным относительно $y$.

Пример 8. Возвратное уравнение 4-й степени

Реши уравнение $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Однородные уравнения

Уравнение называют однородным относительно двух выражений $u=u(x)$ и $v=v(x)$, если все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень по $u$ и $v$:

Метод: разделить на старшую степень одного из выражений (скажем, на $v^2$, проверив отдельно случай $v=0$) и ввести $t = \dfrac{u}{v}$ — получится квадратное уравнение $A t^2 + Bt + C = 0$.

Пример 9. Однородное уравнение

Реши уравнение $2(x-1)^2 - 5(x-1)(x+1) + 2(x+1)^2 = 0$.

Уравнения с модулем

Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения: $|t| = t$ при $t\geqslant 0$ и $|t| = -t$ при $t<0$. Основные приёмы:

• По промежуткам: найти нули подмодульных выражений, разбить ось на промежутки, на каждом раскрыть модули по их знаку, решить и пересечь с промежутком, затем объединить ответы.
• Возведение в квадрат: $|f| = g \iff \begin{cases} f^2 = g^2 \\ g \geqslant 0\end{cases}$ (правая часть — модуль, она неотрицательна).
• Разность квадратов: $|f| = |g| \iff (f-g)(f+g) = 0$ (см. справочник, §4).

Пример 10. Уравнение с модулем

Реши уравнение $|x^2 - 4| = x + 2$.

Примеры решений (классические методы)

Начнём с классического метода замены переменной целым блоком.

Пример 1. Замена переменной

Реши уравнение $\dfrac{2}{x^2-4x} - \dfrac{4}{x^2-4x+3} = 1$.

Следующий пример иллюстрирует работу с кубическими многочленами, где лобовая группировка не срабатывает.

Пример 2. Угадывание корня, деление уголком и схема Горнера

Реши уравнение $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Следующий пример показывает, что та же схема Горнера выручает и в немоническом случае, когда корень оказывается дробным.

Пример 11. Немоническое уравнение: рациональный корень $\tfrac{p}{q}$

Реши уравнение $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$.

Следующий пример демонстрирует типичную задачу ДВИ на стыке алгебраических преобразований и теоремы Виета. Здесь требуется высокая математическая культура.

Пример 3. Теорема Виета и симметрические многочлены

Найдите все значения $a$, при которых модуль разности кубов корней уравнения $x^2 - ax + 2 = 0$ равен $7$.

Частые ошибки

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике с частичными баллами («±»): важен не только финальный ответ, но и полнота обоснований. Лист формул не выдают, поэтому всё применяемое нужно либо сформулировать, либо вывести.

Что запомнить

• Сначала классифицируй уравнение (см. «Карта темы»), потом выбирай метод — это экономит время и спасает от тупиковых преобразований.
• Если уравнение выше второй степени и не группируется — ищи рациональный корень $\tfrac{p}{q}$ ($p\mid$ свободный член, $q\mid$ старший) и понижай степень схемой Горнера или делением уголком.
• В дробно-рациональных не спеши приводить монструозные дроби к общему знаменателю: сначала поищи замену повторяющегося блока, и не забудь ОДЗ.
• В иррациональных — возведение в чётную степень только при контроле знака; всегда отбирай корни.
• В возвратных и биквадратных — замены $y=x+\tfrac1x$ ($|y|\geqslant 2$) и $t=x^2$ ($t\geqslant 0$); в однородных — деление на старшую степень с проверкой нуля.
• Любое симметрическое выражение от двух корней (квадраты, кубы, модули разностей) выражается через их сумму и произведение.

Стратегия на ДВИ

Проверь себя

1. Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе...
   • $f(x) = g^2(x)$ и $g(x) \geqslant 0$
   • $f(x) = g^2(x)$ и $f(x) \geqslant 0$
   • просто $f(x) = g^2(x)$
   • $f(x) = g^2(x)$ и $g(x) > 0$
2. При замене $y = x + \dfrac{1}{x}$ (для действительных $x \neq 0$) какие значения $y$ возможны?
   • любые действительные $y$
   • только $|y| \geqslant 2$
   • только $y \geqslant 2$
   • только $|y| \leqslant 2$
3. У многочлена $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ с целыми коэффициентами рациональный корень $\dfrac{p}{q}$ (несократимая дробь) обязан удовлетворять...
   • $p \mid 2$ (свободный член) и $q \mid 2$ (старший коэффициент)
   • $p \mid 2$ (старший коэффициент) и $q \mid 2$ (свободный член), поэтому годятся только целые кандидаты
   • корень всегда целый и делит свободный член
   • $p \mid 3$ и $q \mid 3$
4. Для корней $x_1, x_2$ квадратного уравнения верно $x_1^2 + x_2^2 = \ldots$
   • $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
   • $(x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2$
   • $(x_1 + x_2)^2 + 2x_1 x_2$
   • $(x_1 - x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Проверить