Часть 1, задание 12: Нестандартные -- параметр, комбинаторика, суммы

Содержание

Задание 12 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 12 базовой части ДВИ

Двенадцатое задание базовой части — то, что не поместилось в остальные слоты. «Нестандартные» здесь не жанр, а корзина: параметр, комбинаторный подсчёт, сумма дробей. Итог во всех 3 задачах банка — целое число: $4$ , $3$ и $8$ .

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

Задач в слоте три, и честнее всего сказать прямо: ни один приём не встречается дважды. Название слота — «параметр, комбинаторика, суммы» — перечисляет буквально по одной задаче на пункт. Это меняет способ подготовки. Набить руку повторением здесь не на чем; вместо этого надо знать три коротких сюжета, каждый из которых занимает пять строк, если ты его узнал, — и полчаса, если нет.

СОВЕТ

Общее у трёх задач — не тема, а форма трудности

Во всех трёх вычислительная часть школьная и короткая: сложить четыре дроби или решить квадратное уравнение с целыми корнями. Никаких громоздких выкладок, никакого перебора.

Вся сложность — в первом шаге: понять, какую конструкцию перед тобой положили. Разложить $\frac{1}{n(n+3)}$ на разность. Заметить, что «единственное решение» бывает по двум разным причинам. Вспомнить, что каждая диагональ считается дважды. Дальше задача решается сама.

Отсюда практический вывод: если ты просидел над задачей этого слота пять минут и не сдвинулся — ты не «медленно считаешь», ты не узнал конструкцию. Считать заново бесполезно, надо перечитать условие и искать другую зацепку.

Какие темы встречаются

Разбор всех 3 задач слота даёт три сюжета — по одному на задачу.

Телескопическая сумма — 1 задача из 3 (18636). Сумма дробей вида $\dfrac{1}{n(n+3)}$ , где каждое слагаемое раскладывается на разность, и соседние части гасят друг друга.
Параметр с разбором вырождения — 1 задача из 3 (18669). Уравнение $(a-1)x^{2}+ax+1=0$ , вопрос — при каких $a$ решение единственно.
Комбинаторный подсчёт — 1 задача из 3 (20723). Число диагоналей выпуклого многоугольника известно, найти число вершин.

Одна ниточка между ними всё-таки есть, и она полезная. В двух задачах из трёх (18669 и 20723) появляется квадратное уравнение, и в обеих алгебра — не главное: решает рассуждение, которого в уравнении не видно. В 20723 надо отбросить корень $n=-5$ , потому что вершин не бывает минус пять. В 18669 надо, наоборот, добавить значение $a=1$ , которого дискриминант не показывает в принципе. Формула сама по себе в обоих случаях даёт неполный ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет

Нет факториалов, сочетаний и перестановок в явном виде: единственная комбинаторная задача считается школьной формулой диагоналей, а не через $C_n^k$ . Нет вероятности.

Нет параметра в неравенстве, в системе или в задаче «при каких $a$ корней ровно два» / «корни разных знаков» — единственная формулировка про параметр в слоте — «единственное решение». Нет графических методов для параметра.

Нет бесконечных сумм и нет прогрессий: арифметическая и геометрическая живут в своём слоте — задании 7. Нет и суммы с числом слагаемых, зависящим от $n$ : в 18636 слагаемых ровно четыре, они выписаны явно.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Три формулы ниже — весь слот.

ВАЖНОЕ

Разложение дроби и телескопическая сумма

\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right).

Проверяется в одну строку, и проверять стоит каждый раз:

\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)=\frac{1}{k}\cdot\frac{(n+k)-n}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\cdot\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n(n+k)}.

Множитель $\dfrac1k$ — то, что теряют чаще всего. При $k=1$ его не видно ( $\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ ), и формула запоминается без него; при $k=3$ ошибка сразу даёт ответ втрое больше.

После разложения соседние скобки гасят друг друга, и от всей суммы остаются только самое первое и самое последнее слагаемые:

\sum_{j}\frac{1}{n_j(n_j+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n_{\text{первое}}}-\frac{1}{n_{\text{последнее}}+k}\right).

ВАЖНОЕ

«Единственное решение» — это два случая, а не один

Пусть дано уравнение $Ax^{2}+Bx+C=0$ , где коэффициенты зависят от параметра. Ровно одно решение бывает по двум разным причинам:

\begin{cases} A=0,\ B\ne0 & \text{уравнение линейное, корень ровно один;} \\ A\ne0,\ D=B^{2}-4AC=0 & \text{квадратное, корни совпали.} \end{cases}

Дискриминант не видит первую строку: при $A=0$ выражение $B^{2}-4AC$ по-прежнему считается, но смысла у него уже нет — квадратного уравнения нет. Поэтому разбор вырождения ( $A=0$ ) делается до всякого дискриминанта, а не после.

Стоит проверить и третий вариант, $A=0$ и $B=0$ : тогда решений либо нет вовсе ( $C\ne0$ ), либо бесконечно много ( $C=0$ ), но единственным решение не бывает никогда.

ВАЖНОЕ

Диагонали выпуклого многоугольника

d=\frac{n(n-3)}{2}.

Выводится двумя способами, и оба стоит уметь произнести:

По вершинам. Из каждой из $n$ вершин выходит $n-3$ диагонали: нельзя вести в саму вершину и в двух её соседей. Получается $n(n-3)$ , но каждая диагональ посчитана дважды — с обоих концов.
Через отрезки. Всего отрезков с концами в вершинах $C_n^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ , из них $n$ — стороны: $\dfrac{n(n-1)}{2}-n=\dfrac{n(n-3)}{2}$ .

Обратная задача (дано $d$ , найти $n$ ) приводит к квадратному уравнению, у которого второй корень всегда отрицателен и всегда отбрасывается по смыслу.

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18636

Найдите в явном виде целое число, записанное выражением

45\left(\dfrac{1}{3 \cdot 6} + \dfrac{1}{6 \cdot 9} + \dfrac{1}{9 \cdot 12} + \dfrac{1}{12 \cdot 15}\right).

Видим шаг

Знаменатели идут парами с шагом $3$ : $3\cdot6$ , $6\cdot9$ , $9\cdot12$ , $12\cdot15$ . Второй множитель каждой пары становится первым множителем следующей — верный признак телескопической суммы.

Раскладываем каждое слагаемое

Здесь $k=3$ , поэтому

\frac{1}{n(n+3)}=\frac13\left(\frac1n-\frac{1}{n+3}\right).

Складываем — и почти всё сокращается

\frac13\left(\frac13-\frac16+\frac16-\frac19+\frac19-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{15}\right)=\frac13\left(\frac13-\frac{1}{15}\right)=\frac13\cdot\frac{5-1}{15}=\frac13\cdot\frac{4}{15}=\frac{4}{45}.

Уцелели только первая и последняя дроби.

Умножаем на множитель из условия

45\cdot\frac{4}{45}=4.

Число $45$ перед скобкой подобрано ровно под знаменатель — это подтверждение, что ты не ошибся: ответ обязан быть целым, и он целый.

Честная оговорка

Слагаемых всего четыре, и сложить их «в лоб» тоже можно: общий знаменатель $540$ , числители $30+10+5+3=48$ , дробь $\frac{48}{540}=\frac{4}{45}$ . Приём нужен не ради этих четырёх дробей, а потому что с двадцатью слагаемыми он работает точно так же, а общий знаменатель — уже нет.

Пример 2. Задача 18669

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение $(a-1)x^{2}+ax+1=0$ имеет единственное решение. Если таких значений несколько, в ответ запишите сумму этих значений.

Пример 3. Задача 20723

Сколько вершин имеет многоугольник, если у него $20$ диагоналей?

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыт случай, когда уравнение перестаёт быть квадратным

Ошибка: в 18669 сразу написать $D=(a-2)^{2}=0$ и ответить $2$ . Правильно: коэффициент при $x^{2}$ равен $a-1$ и обращается в ноль при $a=1$ — тогда уравнение линейное и корень у него ровно один. Верный ответ $1+2=3$ . Правило: как только коэффициент при $x^{2}$ содержит параметр, разбор начинается с приравнивания этого коэффициента нулю, и только потом идёт дискриминант.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Узнал конструкцию? Знаменатели, сцепленные попарно, — телескоп. Параметр при $x^{2}$ — разбор вырождения. Диагонали, стороны, вершины — комбинаторная формула.
Проверил разложение дроби обратным ходом? Приведение к общему знаменателю в одну строку ловит потерянный множитель $\frac1k$ .
Разложил — увидел, что сокращается? В телескопической сумме уцелевают только первое и последнее слагаемые.
Параметр стоит при $x^{2}$ ? Тогда первым делом приравняй этот коэффициент нулю и разбери случай отдельно — дискриминант его не видит.
В вырожденном случае проверил коэффициент при $x$ ? Если он тоже нулевой, решений либо нет, либо бесконечно много — единственным решение не будет.
Формулу диагоналей проверил на четырёхугольнике? $\frac{4\cdot1}{2}=2$ — быстрее, чем вспоминать вывод.
Отбросил корни, невозможные по смыслу? Число вершин натурально и не меньше трёх.
Прочитал хвост условия? «Сумма этих значений» — не то же самое, что «эти значения».
Ответ целый? Во всех трёх задачах слота он целый, и множители в условии подобраны именно так ( $45$ в 18636 гасит знаменатель $45$ ).

Проверь себя

Чему равно $\dfrac{1}{n(n+3)}$ ?
Уравнение $(a-1)x^{2}+ax+1=0$ имеет единственное решение. С чего начинать разбор?
Сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника?
Решая «сколько вершин, если диагоналей $20$ », ты получил $n=8$ и $n=-5$ . Что делать со вторым корнем?

Часть 1, задание 12: Нестандартные -- параметр, комбинаторика, суммы

Задание 12 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Видим шаг

Раскладываем каждое слагаемое

Складываем — и почти всё сокращается

Умножаем на множитель из условия

Честная оговорка

Сначала — вырождение

Теперь квадратный случай

Складываем, как просит условие

Где здесь ловушка

Записываем формулу

Решаем квадратное уравнение

Отбрасываем по смыслу

Проверяем

Типичные ошибки

Чек-лист