Четырёхугольники

Находим сумму оснований

Пусть $ABCD$ — данная трапеция, $BC$ и $AD$ — основания. Диагонали $AC = 13$, $BD = 15$. Средняя линия $l = 7$.

Так как средняя линия равна полусумме оснований, то $AD + BC = 2l = 14$.

Сдвигаем диагональ

Проведи через вершину $C$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с прямой $AD$ в точке $E$. Четырёхугольник $BCED$ — параллелограмм, откуда $CE = BD = 15$, а $DE = BC$.

• $AC = 13$
• $CE = 15$
• $AE = AD + DE = AD + BC = 14$

Проверяем существование

Чтобы треугольник $ACE$ существовал, стороны $13$, $15$, $14$ должны удовлетворять неравенству треугольника: $13 + 14 = 27 > 15$, $13 + 15 = 28 > 14$, $14 + 15 = 29 > 13$ — все три выполнены, треугольник реализуем. Значит и трапеция с такими данными существует.

Считаем площадь по формуле Герона

Площадь треугольника $ACE$ равна площади трапеции $ABCD$. Вычислим площадь $\triangle ACE$ по формуле Герона. Полупериметр $p = \dfrac{13 + 15 + 14}{2} = 21$.

Находим высоту через радиус

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC = a$ и $AD = b$ ($a < b$). Боковая сторона $AB = CD = c$. Радиус вписанной окружности $r = 3$, значит, высота трапеции $h = 2r = 6$ (диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен высоте, потому что окружность касается обоих оснований).

Используем описанность и площадь

Так как трапеция описана около окружности, суммы противоположных сторон равны:

Площадь трапеции равна $45$:

Из равенства $a+b = 2c$ находим боковую сторону: $2c = 15 \implies c = 7{,}5$.

Применяем теорему Пифагора

Опустим высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции отрезок $AK$ равен полуразности оснований:

В прямоугольном $\triangle ABK$ по теореме Пифагора:

Применим формулу разности квадратов для удобства счёта:

Значит, $\dfrac{b-a}{2} = 4{,}5 \implies b-a = 9$.

Решаем систему

Получили систему для оснований:

Складывая уравнения, получаем $2b = 24 \implies b = 12$. Вычитая уравнения, получаем $2a = 6 \implies a = 3$.

Боковые стороны равны $7{,}5$.

Проверяем существование и единственность

Условие задаёт сразу два параметра ($r = 3$ и $S = 45$), поэтому важно убедиться, что данные согласованы и трапеция реально существует. Боковая сторона $c = 7{,}5$ больше высоты $h = 6$, значит наклонная боковая сторона физически реализуема (катет $AK = 4{,}5 > 0$, гипотенуза длиннее вертикального катета). Кроме того $a = 3 > 0$ и $a < b$, как и предполагалось. Система $\{a+b=15,\ b-a=9\}$ имеет единственное решение, поэтому ответ единствен. (Радиус $r=3$ и площадь $S=45$ здесь не противоречат друг другу: они совместно определяют $a+b$ и $h$, а пифагорова связь однозначно достраивает $a-b$.)

Выражаем площадь ромба

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 2x$ и $d_2 = 4x$ ($x > 0$). Площадь ромба:

Находим сторону и высоту

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $x$ и $2x$. Сторону ромба $a$ найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной:

Площадь ромба также можно выразить через сторону и высоту $h$:

Считаем радиус и площадь круга

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:

Площадь круга, вписанного в ромб:

Находим отношение

Найдём искомое отношение:

Подобие центральных треугольников

Это прямое применение конфигурации диагоналей трапеции, заявленной выше. Используем готовую картинку пересечения диагоналей.

Поскольку $BC \parallel AD$, при пересечении диагоналей возникают накрест лежащие углы: $\angle OBC = \angle ODA$ и $\angle OCB = \angle OAD$. Значит, $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ (по двум углам). Коэффициент подобия

Боковые треугольники

По свойству конфигурации площади боковых треугольников равны и являются средним геометрическим площадей центральных:

Почему так. Треугольники $AOB$ и $BOC$ имеют общую высоту из вершины $B$ к прямой $AC$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований $AO$ и $OC$. Из подобия $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ получаем $\dfrac{OC}{OA} = k$, значит $\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOB}} = \dfrac{OC}{OA} = k$, откуда $S_{AOB} = \dfrac{S_{BOC}}{k} = \dfrac{4}{2/3} = 6$. Аналогично $S_{COD} = k\cdot S_{AOD} = \tfrac23\cdot 9 = 6$ — те же $6$, всё согласовано.

Складываем площади четырёх треугольников

Проверка

Заметим красивый факт: $S_{ABCD} = (\sqrt{S_{BOC}} + \sqrt{S_{AOD}})^2 = (2+3)^2 = 25$ — формула, которую полезно знать как контроль ответа.

Применяем теорему Птолемея

Так как $ABCD$ вписан в окружность, применима теорема Птолемея: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Подставляем сопоставление сторон: противоположные пары — это $(AB, CD)$ и $(BC, AD)$. Тогда

Подставляем числа:

Отсюда

Проверяем существование фигуры

Здесь данные подобраны так, что фигуру можно построить явно и убедиться, что она реальна, — а не ограничиться формальной галочкой. Заметим: $AB^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = AC^2$, то есть $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ и гипотенузой $AC$. Точно так же $AD^2 + DC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = AC^2$, значит $\triangle ADC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$ и той же гипотенузой $AC$.

Тогда обе вершины $B$ и $D$ видят отрезок $AC$ под прямым углом, поэтому лежат на окружности с диаметром $AC = 25$ (обратная теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр). Следовательно, четыре точки $A, B, C, D$ действительно лежат на одной окружности радиуса $12{,}5$, расположены по разные стороны от диаметра $AC$ — четырёхугольник существует, выпуклый и вписанный. Условие непротиворечиво.

Контрольная проверка

Найденную диагональ $BD = 20$ можно проверить независимо от Птолемея. Поскольку $\angle ADC = 90^\circ$ опирается на диаметр $AC$, а угол $\angle ABD$ опирается на ту же дугу $AD$, что и $\angle ACD$, конфигурацию легко просчитать координатами: поместив центр окружности в начало, $A=(-12{,}5;\,0)$, $C=(12{,}5;\,0)$, получаем $B=(-3{,}5;\,12)$ и $D\approx(-10{,}5;\,-6{,}72)$, откуда $BD = 20$ — совпало. Дополнительный контроль площадью: по формуле Брахмагупты $p = \tfrac{15+20+24+7}{2} = 33$ и $S = \sqrt{(33-15)(33-20)(33-24)(33-7)} = \sqrt{18\cdot 13\cdot 9\cdot 26} = 234$, что равно сумме площадей двух прямоугольных треугольников $\tfrac12\cdot 15\cdot 20 + \tfrac12\cdot 7\cdot 24 = 150 + 84 = 234$. Все проверки согласованы.

Введём координаты

Геометрическое доказательство опирается на среднюю линию треугольника, но координатный метод даёт его автоматически и без чертёжных тонкостей — это иллюстрация совета «комбинируй алгебру и геометрию».

Пусть вершины четырёхугольника — произвольные точки $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$, $C(x_C; y_C)$, $D(x_D; y_D)$. Никаких ограничений на них не накладываем — четырёхугольник любой.

Координаты середин

Середина отрезка — полусумма координат концов:

Сравним противоположные стороны через векторы

Вектор $\overrightarrow{MN}$ равен разности координат:

Аналогично

Вывод

Получили $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$ (оба равны $\tfrac12\overrightarrow{AC}$). Равенство векторов означает, что отрезки $MN$ и $QP$ параллельны и равны по длине, а значит $MNPQ$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Заметь: вывод не использовал ни выпуклости, ни вообще никакой картинки — координатный метод «переваривает» произвольную конфигурацию. Это его сила на сложных четырёхугольниках, где геометрические построения путаются.