Вычисления и оценки

Относится к заданиям: 1, 3, 4, 6, 8, 12, 14, 95

Содержание

Суть темы
Основные формулы и оценки
Метод мажорант
Использование монотонности
Примеры решений
Частые ошибки
Что запомнить
Оформление под рубрику ДВИ

Суть темы

На ДВИ по математике часто встречаются задачи, которые невозможно решить стандартными алгебраическими преобразованиями. Если в одном уравнении смешаны многочлены, тригонометрия, логарифмы и корни — это маркер того, что задача решается через оценки (метод мажорант) или использование свойств функций (монотонность, ограниченность).

Также в первой задаче варианта ДВИ регулярно требуется вычислить или сравнить громоздкие иррациональные и логарифмические выражения без калькулятора. Здесь проверяется умение аккуратно возводить в квадрат, выделять полные квадраты, домножать на сопряжённое и оценивать числа соседними целыми. Отдельный жанр — доказательство неравенств («докажите, что …»), где главный инструмент тоже оценки.

Основные формулы и оценки

Для успешного применения метода мажорант нужно знать экстремальные значения и границы стандартных функций.

Особое место занимают неравенства, связывающие средние величины. На ДВИ их можно применять без доказательства, но полезно помнить и короткий вывод — листа формул на экзамене не дают, а эксперт вправе потребовать обоснование.

ВАЖНОЕ

Обобщённое неравенство Коши (AM–GM) для

n

чисел

Для любых неотрицательных $a_1, a_2, \ldots, a_n \geqslant 0$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}, \qquad \text{равенство} \iff a_1 = a_2 = \dots = a_n.

Самые ходовые на ДВИ частные случаи (см. также справочник, разд. 4 «Классические оценки»):

a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{abc} \quad (a,b,c \geqslant 0), \qquad a + \frac{1}{a} \geqslant 2 \quad (a>0).

СОВЕТ

Как восстановить базовые неравенства без листа формул

Если на экзамене нужно сослаться на неравенство, но хочется подстраховаться выводом:

$\dfrac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$ при $a,b\geqslant 0$ — это в точности $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geqslant 0$ , раскрытое и поделённое на $2$ .
$a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2$ при $a>0$ — это $\dfrac{(a-1)^2}{a} \geqslant 0$ (или $(\sqrt{a} - \tfrac{1}{\sqrt{a}})^2 \geqslant 0$ ).
$\tg^2 x + \ctg^2 x \geqslant 2$ — частный случай: $t + \dfrac1t \geqslant 2$ при $t = \tg^2 x > 0$ .

Одна строка такого вывода превращает «по неравенству Коши» в полностью обоснованный переход.

Метод мажорант

Если дано уравнение $f(x) = g(x)$ , и при этом на всей области допустимых значений (ОДЗ) функция $f(x)$ ограничена сверху числом $M$ ( $f(x) \leqslant M$ ), а функция $g(x)$ ограничена снизу тем же числом $M$ ( $g(x) \geqslant M$ ), то равенство возможно только в случае, когда обе функции одновременно равны $M$ .

АЛГОРИТМ

Алгоритм метода мажорант

Найди ОДЗ уравнения или неравенства.
Оцени левую часть (например, выдели полный квадрат или примени ограниченность тригонометрической функции). Пусть получено $f(x) \leqslant M$ .
Оцени правую часть. Убедись, что выполняется встречная оценка $g(x) \geqslant M$ .
Перейди к системе уравнений, которая равносильна исходному: $\begin{cases} f(x) = M, \\ g(x) = M. \end{cases}$
Реши более простое уравнение системы и подставь его корни во второе уравнение для проверки.

Частный случай: «сумма неотрицательных $= 0$ »

Близкий родственник полного квадрата и отдельный рабочий приём оценки. Если сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю, то каждое слагаемое равно нулю:

A^2 + B^2 = 0 \iff \begin{cases} A = 0, \\ B = 0; \end{cases} \qquad |A| + (x-c)^2 + \sqrt{D} = 0 \iff A = 0,\ x = c,\ D = 0.

Это позволяет «расщепить» одно сложное уравнение на простую систему. Перед применением нужно показать, что все слагаемые неотрицательны (квадраты, модули, корни, $1-\cos t \geqslant 0$ и т. п.).

Использование монотонности

Если в уравнении $f(x) = c$ функция $f(x)$ строго возрастает (или строго убывает) на своей области определения, то она принимает значение $c$ не более одного раза. Корень в таких задачах можно просто угадать (подобрать), а затем сослаться на монотонность как на доказательство его единственности.

Аналогично, если $f(x)$ строго возрастает, а $g(x)$ строго убывает (или постоянна), то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Сумма возрастающих функций возрастает; если каждое слагаемое слева возрастает — вся левая часть строго монотонна.

Примеры решений

Пример 1. Оценка иррационально-логарифмического выражения

Найди наибольшее целое число, не превосходящее $A = \log_2\left(17 + 12\sqrt{2}\right)$ .

Сворачиваем полный квадрат под логарифмом

Заметим, что под логарифмом находится полный квадрат. Подберём коэффициенты:

17 + 12\sqrt{2} = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^2.

Тогда исходное число преобразуется:

A = \log_2\left(\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^2\right) = 2\log_2\left(3 + 2\sqrt{2}\right).

Оцениваем соседними степенями двойки

Оценим $3 + 2\sqrt{2}$ соседними степенями двойки строго, без десятичных приближений. Так как $2 < 2\sqrt{2} < 2\cdot 2 = 4$ (потому что $1 < \sqrt2 < 2$ ), то

4 < 3 + 2\sqrt{2} < 7 < 8.

Значит $\log_2 4 < \log_2(3+2\sqrt2) < \log_2 8$ , то есть $2 < \log_2(3+2\sqrt2) < 3$ , откуда $4 < A < 6$ . Целая часть $A$ — это $4$ или $5$ ; нужно понять, по какую сторону от $5$ лежит $A$ . Так как $A = 2\log_2(3+2\sqrt2)$ , вопрос « $A \gtrless 5$ » равносилен « $\log_2(3+2\sqrt2) \gtrless \tfrac52$ ».

Сравниваем с пятёркой

Сравним $\log_2\left(3 + 2\sqrt{2}\right)$ и $\dfrac{5}{2}$ . Логарифм по основанию $2$ возрастает, поэтому

\log_2\left(3 + 2\sqrt{2}\right) \vee \frac{5}{2} \iff 3 + 2\sqrt{2} \vee 2^{5/2} \iff 3 + 2\sqrt{2} \vee 4\sqrt{2}.

Вычтем $2\sqrt{2}$ из обеих частей:

3 \vee 2\sqrt{2}.

Обе части положительны, поэтому возведение в квадрат сохраняет знак: $3^2 = 9$ , $(2\sqrt2)^2 = 8$ , и $9 > 8$ . Значит $3 > 2\sqrt2$ , по цепочке вверх $\log_2(3 + 2\sqrt{2}) > \tfrac52$ , откуда $A > 5$ .

Проверяем верхнюю границу и записываем ответ

Осталось проверить, что $A < 6$ . Сравним исходное число с $6$ :

A < 6 \iff \log_2\left(17 + 12\sqrt{2}\right) < 6 \iff 17 + 12\sqrt{2} < 64 \iff 12\sqrt{2} < 47.

Обе части положительны, возводим в квадрат: $(12\sqrt{2})^2 = 288$ , а $47^2 = 2209$ . Неравенство $288 < 2209$ верно. Значит $A < 6$ .

Число $A$ строго больше $5$ и строго меньше $6$ . Наибольшее целое число, не превосходящее $A$ , равно $5$ .

Пример 2. Метод мажорант с тригонометрией

Реши уравнение $\log_2(x^2 - 4x + 6) = 1 - \left|\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right|$ .

Оцениваем левую часть

Выделим полный квадрат в аргументе логарифма:

x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2.

Так как $(x - 2)^2 \geqslant 0$ при любых $x$ , то $(x - 2)^2 + 2 \geqslant 2$ . (Заодно аргумент логарифма всегда положителен, так что ОДЗ — вся прямая.) Функция $y = \log_2 t$ монотонно возрастает, поэтому

\log_2(x^2 - 4x + 6) \geqslant \log_2 2 = 1.

Левая часть всегда не меньше $1$ , причём $f(x) = 1$ достигается лишь при $(x-2)^2 = 0$ .

Оцениваем правую часть

Модуль синуса всегда неотрицателен: $\left|\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right| \geqslant 0$ . Умножим на $-1$ и прибавим $1$ :

1 - \left|\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right| \leqslant 1.

Правая часть всегда не больше $1$ . Граница $M = 1$ — точная для обеих частей, поэтому метод применим.

Графики мажорант: парабола снизу и волна сверху касаются прямой y=1

Переходим к равносильной системе

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно лишь в случае, когда обе части равны $1$ . Получаем равносильную систему:

\begin{cases} \log_2(x^2 - 4x + 6) = 1, \\ 1 - \left|\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\right| = 1. \end{cases}

Решаем систему и проверяем корень

Из первого уравнения:

x^2 - 4x + 6 = 2 \iff x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2.

Проверим найденный корень во втором уравнении:

1 - \left|\sin\left(\frac{2\pi}{2}\right)\right| = 1 - |\sin \pi| = 1 - 0 = 1.

Уравнение обращается в верное равенство. Корень подтверждён.

Пример 3. Оценка через неравенство Коши (система с тригонометрией)

Реши систему уравнений:

\begin{cases} \tg^2 x + \ctg^2 x = 2\cos y, \\ x + y = \dfrac{\pi}{4}. \end{cases}

Находим ОДЗ

ОДЗ системы: $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$ , то есть $x \neq \dfrac{\pi n}{2}, \, n \in \ZZ$ .

Оцениваем левую часть первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение. Так как $\tg^2 x > 0$ и $\ctg^2 x > 0$ на ОДЗ, а также $\tg^2 x \cdot \ctg^2 x = 1$ , применим неравенство о сумме взаимно обратных положительных чисел (или AM–GM для $t = \tg^2 x$ и $\tfrac1t$ ):

\tg^2 x + \ctg^2 x = \tg^2 x + \frac{1}{\tg^2 x} \geqslant 2.

Левая часть первого уравнения не меньше $2$ , причём равенство — при $\tg^2 x = 1$ .

Оцениваем правую часть и переходим к системе

Правая часть ограничена сверху значением косинуса:

2\cos y \leqslant 2.

Следовательно, первое уравнение равносильно системе:

\begin{cases} \tg^2 x + \ctg^2 x = 2, \\ 2\cos y = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} \tg^2 x = 1, \\ \cos y = 1. \end{cases}

Находим $y$ и $x$

Из уравнения $\cos y = 1$ находим $y = 2\pi k, \, k \in \ZZ$ . Подставим во второе уравнение исходной системы $x + y = \dfrac{\pi}{4}$ :

x + 2\pi k = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} - 2\pi k.

Проверяем корень и ОДЗ

Проверим, удовлетворяет ли найденный $x$ уравнению $\tg^2 x = 1$ :

\tg^2\left(\frac{\pi}{4} - 2\pi k\right) = \tg^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1.

Условие выполняется. Найденный $x = \tfrac{\pi}{4} - 2\pi k$ не кратен $\tfrac{\pi}{2}$ , поэтому входит в ОДЗ.

Пример 4. Единственность корня через монотонность

Реши уравнение $\sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x + 7} = 4$ .

Находим ОДЗ

ОДЗ: $x + 3 \geqslant 0$ , то есть $x \geqslant -3$ (кубический корень определён всюду).

Доказываем строгую монотонность

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x + 7}$ на луче $x \geqslant -3$ . Оба слагаемых строго возрастают на ОДЗ: при увеличении $x$ растут и $x+3$ , и $x+7$ , а корень (квадратный и кубический) — возрастающая функция своего аргумента. Сумма строго возрастающих функций строго возрастает, поэтому $f(x)$ принимает каждое значение не более одного раза.

Подбираем корень

Ищем $x$ , при котором оба корня извлекаются «нацело». При $x = 1$ :

f(1) = \sqrt{1 + 3} + \sqrt[3]{1 + 7} = \sqrt{4} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4.

Значение совпало с правой частью, значит $x = 1$ — корень уравнения.

График строго возрастающей функции f(x) = sqrt(x+3) + kubkor

Обосновываем единственность

Так как $f$ строго возрастает, других корней нет: уравнение $f(x) = 4$ имеет не более одного решения, а одно мы уже нашли. Проверяем ОДЗ: $x = 1 \geqslant -3$ — входит.

Вывод (эталон рассуждения о единственности): « $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x+7}$ строго возрастает на $[-3;+\infty)$ как сумма строго возрастающих функций $\Rightarrow$ уравнение $f(x) = 4$ имеет не более одного корня; $x = 1$ — корень, следовательно единственный.»

СОВЕТ

Подсказка по подбору корня в задачах на монотонность

Чаще на ДВИ корень в таких уравнениях табличный (целый), и подбор сходится сразу. Канонический пример из справочника: $3^x + 4^x = 5^x$ . Поделив на $5^x$ , получаем $\left(\tfrac35\right)^x + \left(\tfrac45\right)^x = 1$ ; левая часть строго убывает, при $x = 2$ равна $\tfrac{9}{25} + \tfrac{16}{25} = 1$ . Значит $x = 2$ — единственный корень. Схема та же: угадал корень $\to$ сослался на строгую монотонность $\to$ единственность доказана без перебора.

Пример 5. Сравнение чисел домножением на сопряжённое

Сравни без калькулятора числа $a = \sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ и $b = \sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ (что больше?).

Домножаем на сопряжённое

Оба числа положительны (большее под корнем — больше корень). Сравнивать разности корней «в лоб» неудобно, поэтому избавимся от вычитания корней домножением на сопряжённое (см. справочник, разд. 1 «Рационализация»):

\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.

Переписываем оба числа в виде дробей

Применим формулу к обоим числам:

a = \sqrt{2024} - \sqrt{2023} = \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}, \qquad b = \sqrt{2023} - \sqrt{2022} = \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}.

Сравниваем знаменатели

Теперь сравнение дробей с положительными числителями свелось к сравнению знаменателей: больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели:

\sqrt{2024} + \sqrt{2023} \quad \vee \quad \sqrt{2023} + \sqrt{2022}.

Вычтем общее слагаемое $\sqrt{2023}$ из обеих частей:

\sqrt{2024} \quad \vee \quad \sqrt{2022}.

Очевидно $\sqrt{2024} > \sqrt{2022}$ , значит знаменатель числа $a$ больше, а потому сама дробь $a$ меньше:

a < b, \qquad \text{то есть } \sqrt{2024} - \sqrt{2023} < \sqrt{2023} - \sqrt{2022}.

(Содержательно: разности соседних корней убывают с ростом $n$ — корень растёт всё медленнее.)

Пример 6. Раскрытие двойного радикала

\sqrt{a \pm \sqrt{b}}

Упрости выражение $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ .

Пример 7. Доказательство неравенства (AM–GM для трёх чисел)

Докажи, что для любых положительных $a, b, c$ выполняется

\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant 3.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение неравенства в квадрат вслепую

Ошибка: при сравнении чисел переходить от $A > B$ к $A^2 > B^2$ , не убедившись в неотрицательности $A$ и $B$ . Например, из $-2 > -5$ не следует $(-2)^2 > (-5)^2$ (на самом деле $4 < 25$ ). Правильно: перед возведением обеих частей в квадрат обязательно зафиксируй (или докажи), что обе части неравенства неотрицательны. Если части имеют разные знаки, квадрат не нужен — положительное число всегда больше отрицательного.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение в квадрат УРАВНЕНИЯ: посторонние корни и знак правой части

Ошибка: решая уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ , сразу возводить в квадрат и брать все полученные корни. Возведение в квадрат — не равносильное преобразование: оно может добавить посторонние корни (те $x$ , где $g(x) < 0$ ), потому что $\sqrt{f} \geqslant 0$ , а правая часть могла быть отрицательной. Правильно: $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \geqslant 0. \end{cases}$ Условие $g(x)\geqslant 0$ обязательно (см. справочник, разд. 4 «Иррациональные уравнения»). Либо возводи в квадрат и затем подставляй каждый корень в исходное уравнение, отбрасывая те, где левая и правая части не совпали по знаку.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ОДЗ логарифма

Ошибка: решить уравнение/неравенство с логарифмами и записать все формальные корни, забыв про ОДЗ. Например, в $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ нужно $f(x) > 0$ (и тогда автоматически $g(x) > 0$ ), а в $\log_{h(x)} f(x)$ ещё и $h(x) > 0,\ h(x) \neq 1$ . Правильно: ОДЗ выписывай до преобразований и пересекай с ним финальный ответ. Пропавшее условие $f(x) > 0$ — классическая потеря балла на ДВИ.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применение неравенства Коши к величинам, чей знак не зафиксирован

Ошибка: автоматически писать $u + \dfrac{1}{u} \geqslant 2$ для выражения $x + \dfrac{1}{x}$ , когда $x$ может быть отрицательным. При $x < 0$ на самом деле $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2$ , а не $\geqslant 2$ — оценка переворачивается. Контраст (важно понять разницу): запись $x^2 + \dfrac{4}{x^2} \geqslant 4$ верна всегда при $x \neq 0$ — оба слагаемых $x^2 > 0$ и $\dfrac{4}{x^2} > 0$ неотрицательны, и AM–GM даёт $x^2 + \dfrac{4}{x^2} \geqslant 2\sqrt{x^2 \cdot \tfrac{4}{x^2}} = 2\cdot 2 = 4$ . А вот $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2$ неверно, пока не зафиксирован знак $x$ . Правильно: неравенство $\dfrac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$ (и его следствия) работает только для $a \geqslant 0,\ b \geqslant 0$ . Если переменные могут быть отрицательными, разбирай случаи $x > 0$ и $x < 0$ отдельно.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Равенство в Коши без проверки достижимости

Ошибка: оценив сумму снизу числом $M$ по неравенству Коши, сразу заявить, что минимум равен $M$ . Но минимум достигается только если выполнимо условие равенства $a = b$ (или $a_1 = \dots = a_n$ ). Если это условие несовместно с ОДЗ задачи, граница $M$ не достигается и не является минимумом. Правильно: после оценки всегда проверяй, существует ли $x$ , обращающий неравенство в равенство; для метода мажорант это и есть решение системы.

Что запомнить

Выделение полного квадрата — универсальный способ оценки многочлена второй степени.
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю $\iff$ каждое слагаемое равно нулю (родственник полного квадрата).
Выражения вида $A + \dfrac{1}{A}$ кричат о применении оценки $\geqslant 2$ при $A>0$ (или $\leqslant -2$ при $A<0$ ).
Для оценки суммы из трёх и более слагаемых держи в уме обобщённое AM–GM: $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ , особенно если произведение слагаемых упрощается до константы.
При сравнении чисел с радикалами часто помогает домножение на сопряжённое (превращает разность корней в дробь) или последовательное возведение в квадрат с уединением оставшегося корня.
Двойной радикал $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ сворачивай в полный квадрат $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2$ , не забывая модуль при извлечении.
Если в уравнении есть и многочлен, и тригонометрия (логарифм, корень) — не пытайся выразить $x$ . Сразу ищи границы левой и правой частей или используй монотонность.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике «±»: важна не только верность ответа, но и полнота обоснований. Ниже — что обязательно должно присутствовать в чистовике, чтобы получить полный балл.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (метод мажорант / оценки)

Выписать ОДЗ до преобразований (особенно для логарифмов, корней, тангенса). Финальный ответ пересечь с ОДЗ.
Оценить каждую часть строгой цепочкой неравенств. Не «очевидно, что $f \leqslant M$ », а: « $(x-2)^2 \geqslant 0 \Rightarrow (x-2)^2 + 2 \geqslant 2 \Rightarrow \log_2(\dots) \geqslant 1$ ».
Явно указать, что $M$ — точная граница и достигается: «равенство $f = M$ возможно лишь при …». Это обосновывает переход к системе.
Сформулировать равносильность: «уравнение $f = g$ при $f \geqslant M$ и $g \leqslant M$ равносильно системе $\{f = M,\ g = M\}$ ».
Решить систему и проверить найденный корень подстановкой в оба уравнения и в ОДЗ. Записать ответ.

СОВЕТ

За что снимают «±» (типичные потери баллов)

Оценка без обоснования («логарифм больше двух» без цепочки $4 < \cdot < 8$ ) — необоснованный переход.
Десятичные приближения корней ( $\sqrt2 \approx 1{,}41$ ) в чистовике вместо строгих алгебраических сравнений. Приближения — только на черновике, для понимания, в какую сторону доказывать.
Подстановка корня лишь в одно уравнение системы (а не в оба) и пропуск проверки ОДЗ.
Не указано, что граница $M$ достижима — формально система могла оказаться пустой.
При возведении в квадрат — не отброшены посторонние корни / не проверен знак правой части.
Применение Коши без проверки знаков слагаемых или без условия равенства.

Проверь себя

При каких $a$ и $b$ в неравенстве Коши $\dfrac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$ достигается равенство?
Уравнение $f(x) = g(x)$ решают методом мажорант: $f(x) \leqslant M$ и $g(x) \geqslant M$ . К какой системе оно равносильно?
Чему равно $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ ?
Верно ли, что $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2$ при всех $x \neq 0$ ?

Вычисления и оценки

Суть темы

Основные формулы и оценки

Метод мажорант

Частный случай: «сумма неотрицательных $= 0$ »

Использование монотонности

Примеры решений