Четырёхугольники и их элементы

Четырёхугольники и их элементы (Задание 12)

В 12-м задании базового ЕГЭ по математике тебя ждёт планиметрия - геометрия на плоскости. Часто здесь встречаются задачи на четырёхугольники: параллелограммы, ромбы, прямоугольники и трапеции. Главный секрет в том, что почти любой четырёхугольник можно разбить на прямоугольные треугольники и решить задачу через старую добрую теорему Пифагора либо применить готовую формулу площади.

Суть темы

Чтобы уверенно решать задачи на четырёхугольники, нужно знать "анатомию" основных фигур: какие стороны и углы равны, как устроены диагонали, чем параллелограмм отличается от ромба и трапеции. В базовом ЕГЭ составители часто "маскируют" простые фигуры под сложными описаниями - разберёмся, кто есть кто.

Ключевые формулы и свойства

Начнём с того, что есть у любого четырёхугольника.

Параллелограмм - четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Прямоугольник, ромб и квадрат - его частные случаи, поэтому это свойство есть и у них.

Теперь формулы площадей - их достаточно три штуки, и любая задача с площадью четырёхугольника в базе решается через одну из них.

Скрытые фигуры и диагонали

Давай посмотрим, как составители экзамена прячут простые фигуры за длинными фразами.

1. Прямоугольник. Если в задаче сказано: "Дан параллелограмм, у которого диагонали равны", смело заменяй это на прямоугольник. Диагонали равны только у него (и у квадрата, который тоже прямоугольник). У прямоугольника все углы прямые, а диагональ разбивает его на два прямоугольных треугольника, в которых стороны - катеты, а диагональ - гипотенуза.

2. Ромб. Если видишь: "Дан параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны" или "диагонали являются биссектрисами его углов" - перед тобой ромб. У ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

3. Равнобедренная трапеция. Это трапеция, у которой боковые стороны равны. Её главная "фишка" - две высоты, опущенные из верхних вершин на нижнее основание.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи в стиле задач из банка ЕГЭ-база - от простого применения формулы до двухходовой задачи на трапецию.

Пример 1. Крышка коробки-параллелограмма

Условие: Ты собираешь подарочную коробку в форме параллелограмма. Известно, что диагонали крышки равны $10$ см и $24$ см и пересекаются под прямым углом. Какой длины нужна тесьма, чтобы пустить её ровно по краю крышки?

Пример 2. Скошенная стенка шкафа

Условие: Лицевая стенка шкафа - прямоугольник с диагональю $25$ см. Одна из сторон равна $7$ см. Какой высоты получится этот шкаф?

Пример 3. Диагональ садового участка-трапеции

Условие: Садовый участок имеет форму равнобедренной трапеции. Параллельные стороны равны $30$ м и $40$ м, а боковая сторона $13$ м. Какой длины нужен трос, чтобы натянуть его по диагонали от одного угла участка до противоположного?

Частые ошибки

Что запомнить

• Параллелограмм с равными диагоналями = прямоугольник. Сторону ищем по теореме Пифагора через диагональ и вторую сторону.
• Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (или с диагоналями-биссектрисами) = ромб. Сторона - гипотенуза треугольника с катетами $\dfrac{d_1}{2}$ и $\dfrac{d_2}{2}$.
• В равнобедренной трапеции опускай две высоты. Они отрезают по краям кусочки, равные $\dfrac{\text{нижнее} - \text{верхнее}}{2}$.
• Площади: $S_{\text{парал}} = ah$, $S_{\text{ромб}} = \dfrac{d_1 d_2}{2}$, $S_{\text{трап}} = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$.
• Теорема Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ - главный инструмент во всём задании 12.

Проверь себя

1. У параллелограмма диагонали равны. Какая это фигура?
   • Прямоугольник
   • Ромб
   • Равнобедренная трапеция
2. Диагонали ромба равны $6$ и $8$. Чему равна сторона ромба?
   • $5$
   • $10$
   • $7$
3. Чему равна площадь трапеции с основаниями $6$ и $10$ и высотой $4$?
   • $32$
   • $64$
   • $40$
4. В равнобедренной трапеции основания равны $30$ и $40$. Какой отрезок отсекает высота на нижнем основании у края?
   • $5$
   • $10$
   • $35$

Проверить