Объем составного многогранника

Объём составного многогранника (Задание 11)

Задание 11 в базовом ЕГЭ проверяет пространственное мышление. Одна из его частых разновидностей - поиск объёма сложной детали, постамента со ступенькой, шкафа с выступом или бассейна хитрой формы. В этом конспекте разберём, как быстро и без ошибок считать объёмы таких фигур.

Суть темы

Составной многогранник - это сложное трёхмерное тело, собранное из нескольких простых. Представь ступенчатый постамент под бюст, шкаф с выемкой под стол или деталь станка: у всех у них каждая грань либо прямоугольная, либо состоит из прямых участков.

Чтобы найти объём такой фигуры, не нужно учить новые сложные формулы. Достаточно одного из двух приёмов:

• разрезать фигуру на простые "кирпичики" и сложить их объёмы;

• мысленно достроить фигуру до одного большого параллелепипеда и вычесть объём "пустоты".

Основные формулы

Вся тема держится на одной главной формуле и двух подходах к разбиению фигуры.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём две типичные задачи: на метод сложения и на метод вычитания. Третий пример -- ЕГЭ-уровень.

Пример 1. Шкаф со ступенькой (метод сложения)

Условие: Дизайнерский стеллаж имеет форму составного многогранника. Он собран из двух прямоугольных секций, все углы прямые. Нижняя секция -- параллелепипед $80 \times 40 \times 60$ (см). Верхняя секция стоит на нижней, имеет ту же глубину $40$ см, ширину $30$ см и высоту $100$ см. Найди объём стеллажа в кубических сантиметрах, а затем в кубических дециметрах.

Решение: Деталь естественно делится пунктирной линией разреза на два параллелепипеда.

1. Объём нижней секции:

$$V_1 = 80 \cdot 40 \cdot 60 = 192\,000$$

2. Объём верхней секции:

$$V_2 = 30 \cdot 40 \cdot 100 = 120\,000$$

3. Сумма:

$$V = V_1 + V_2 = 192\,000 + 120\,000 = 312\,000 \text{ см}^3$$

В кубических дециметрах: $1$ дм$^3 = 1000$ см$^3$, поэтому $V = 312$ дм$^3$.

Ответ: $312\,000$ см$^3$, или $312$ дм$^3$.

Пример 2. Постамент с выемкой (метод вычитания)

Условие: Постамент для скульптуры имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $120 \times 80 \times 90$ (см). В верхней грани по центру выбрана сквозная прямоугольная ниша шириной $40$, длиной $80$ и глубиной $30$ см (ниша проходит насквозь по глубине постамента). Найди объём материала постамента в кубических сантиметрах.

Пример 3. Бассейн со ступенькой для мелководья

Условие: Бассейн имеет форму составного многогранника: это прямоугольный "котлован" размером $10 \times 4$ м в плане, глубина которого в детской зоне (ширина $4$ м, длина $3$ м) равна $1$ м, а во взрослой зоне (ширина $4$ м, длина $7$ м) -- $2$ м. Сколько кубических метров воды входит в такой бассейн, если заполнить его доверху?

Частые ошибки

Что запомнить

• Любую "ступенчатую" деталь можно разрезать на обычные параллелепипеды-кирпичики.

• Если у детали есть сквозной вырез или ниша, часто быстрее посчитать объём "целого куска" и вычесть объём пустоты.

• Если ребро на чертеже не подписано, его находят вычитанием известных отрезков из общей длины.

• Чтобы не запутаться, подпиши прямо на чертеже размеры каждого блока и его объём.

Проверь себя

1. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$?
   • $V = a \cdot b \cdot c$
   • $V = 2(ab + bc + ac)$
   • $V = a + b + c$
   • $V = \dfrac{abc}{3}$
2. Деталь разрезали на две непересекающиеся части с объёмами $V_1$ и $V_2$. Чему равен объём детали?
   • $V_1 + V_2$
   • $V_1 \cdot V_2$
   • $\dfrac{V_1 + V_2}{2}$
3. У ступенчатой детали общая длина $10$, длина верхней части $3$. Какова длина нижней части?
   • $7$
   • $10$
   • $3$
   • $13$
4. Из параллелепипеда $5 \times 4 \times 3$ вырезали кусок объёмом $12$. Каков объём остатка?
   • $48$
   • $60$
   • $72$
   • $24$

Проверить