Задачи на движение по воде

Обозначаем путь и находим общий путь

Кажется, что нужно просто сложить $20$ и $80$, а потом поделить пополам, но это главная ловушка. Средняя скорость так не работает!

Обозначим расстояние между точками за $S$. Тогда общий путь туда и обратно:

Считаем время на каждый участок

Найдём время, затраченное на путь туда:

Найдём время, затраченное на путь обратно:

Складываем времена

Общее время в пути:

Приведём к общему знаменателю ($80$):

Применяем формулу средней скорости

При делении на дробь она переворачивается, а $S$ сокращается:

Ответ: $32$

Находим скорости на каждом участке

Из времён и расстояния сразу находим скорости на каждом участке.

Скорость по течению:

Скорость против течения:

Составляем систему уравнений

По формулам $v_{\text{по}} = v_{\text{собст}} + v_{\text{теч}}$ и $v_{\text{против}} = v_{\text{собст}} - v_{\text{теч}}$ получаем систему:

Вычитаем уравнения

Вычтем из первого уравнения второе (собственная скорость уйдёт):

Подсказка к приёму: при сложении таких уравнений получишь $2 v_{\text{собст}}$, при вычитании - $2 v_{\text{теч}}$. Это почти всегда быстрее, чем выражать одну переменную через другую.

Ответ: $3$

Заполняем таблицу

Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч.

Составляем уравнение

В задаче сказано, что на путь по течению (обратный) ушло на $2$ часа меньше. Значит, время против течения больше. Составим уравнение: "Большее время" минус "Меньшее время" = $2$ часа.

Упрощаем и решаем

Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы числа стали меньше:

Приведём левую часть к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$:

Отсюда:

Отбираем корень

Так как скорость не может быть отрицательной, берём только положительный корень: $x = 10$.

Ответ: $10$