Задачи на проценты, сплавы и смеси

Содержание

Задачи на проценты, сплавы и смеси (Задание 20)
Суть темы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене

Задачи на проценты, сплавы и смеси (Задание 20)

Задание 20 ЕГЭ базового уровня содержит классические текстовые задачи. Один из самых частых сюжетов здесь - это задачи на проценты, сплавы, растворы и смеси. На первый взгляд они кажутся запутанными, но если записать данные в таблицу "до / после", уравнение составится почти само.

Суть темы

Любой раствор или сплав состоит из двух частей:

Чистое (активное) вещество - кислота, соль, никель, медь, спирт, сахар и т.д.
Растворитель или базовая масса - вода или базовый металл.

Когда ты смешиваешь два раствора, общие массы складываются. И массы чистых веществ внутри них - тоже складываются. А вот проценты складывать нельзя: итоговая концентрация зависит от соотношения масс.

Например, в $20$ кг сплава с концентрацией меди $15\%$ содержится $0{,}15 \cdot 20 = 3$ кг чистой меди. Остальные $17$ кг - это другие металлы.

Алгоритм решения

Самый надёжный приём - таблица "до / после". В строках - участники смешивания и итог. В столбцах - общая масса, концентрация, масса чистого вещества. Таблица переводит условие в уравнение почти автоматически.

АЛГОРИТМ

Алгоритм через таблицу "до / после"

Нарисуй таблицу из трёх столбцов: "масса", "концентрация (%)", "масса вещества (кг или л)".
Строки - по одной на каждый исходный раствор и отдельная строка для итоговой смеси.
Впиши известные числа, неизвестные обозначь буквой $x$ . Масса итога равна сумме масс исходных.
Заполни третий столбец: масса вещества $=$ масса $\cdot$ процент $/$ $100$ .
Составь уравнение: сумма масс чистого вещества в исходных строках равна массе чистого вещества в строке "итог".
Реши уравнение и внимательно прочитай вопрос: часто просят не $x$ , а разность масс или итоговую массу.

Примеры решения

Начнём с простой задачи на разбавление, а затем перейдём к сплавам с неизвестной массой.

Пример 1. Разбавление сока водой

Условие: В банке $8$ литров сока с содержанием сахара $15\%$ . В банку долили $4$ литра чистой воды. Какой процент сахара в получившемся напитке?

Решение: Запиши данные в таблицу. Вода идёт как "раствор" с концентрацией $0\%$ .

	Масса, л	Концентрация, %	Масса сахара, л
Сок	$8$	$15$	$0{,}15 \cdot 8 = 1{,}2$
Вода	$4$	$0$	$0$
Итог	$12$	$p$	$0{,}01 p \cdot 12$

Общая масса сахара не изменилась: сколько было, столько и осталось:

0{,}01 p \cdot 12 = 1{,}2

Решаем:

p = \dfrac{1{,}2}{0{,}12} = 10

Ответ: $10$

Иногда в задаче не дана конкретная масса, а сказано, что массы равны. В таком случае удобно обозначить каждую из них одной буквой.

Пример 2. Равные массы растворов

Условие: Смешали некоторое количество $30$ -процентного раствора кислоты с таким же количеством $40$ -процентного раствора этой же кислоты. Какая концентрация у получившегося раствора?

Решение: Пусть масса каждого раствора равна $m$ . Строим таблицу.

	Масса	Концентрация, %	Масса кислоты
Первый раствор	$m$	$30$	$0{,}3 m$
Второй раствор	$m$	$40$	$0{,}4 m$
Итог	$2 m$	$p$	$0{,}01 p \cdot 2 m$

Баланс кислоты:

0{,}3 m + 0{,}4 m = 0{,}01 p \cdot 2 m

0{,}7 m = 0{,}02 p \cdot m

Массу $m$ можно сократить (она не нуль):

p = \dfrac{0{,}7}{0{,}02} = 35

Ответ: $35$

Теперь самая классическая задача ЕГЭ по теме - сплавление двух кусков металла с разными массами. Возьмём бронзу: сплав меди и олова.

Пример 3. Бронза с неизвестной массой

Условие: Имеется два куска бронзы. Первый содержит $15\%$ олова, второй - $45\%$ олова. Из них сплавили третий кусок, в котором $35\%$ олова. Масса первого куска $-$ $5$ кг. На сколько килограммов масса второго куска больше массы первого?

Составляем таблицу

Обозначим массу второго куска за $x$ кг. Масса итогового сплава $-$ $(5 + x)$ кг. Записываем таблицу.

	Масса, кг	Концентрация олова, %	Масса олова, кг
Первый кусок	$5$	$15$	$0{,}15 \cdot 5 = 0{,}75$
Второй кусок	$x$	$45$	$0{,}45 x$
Итог	$5 + x$	$35$	$0{,}35 (5 + x)$

Составляем уравнение

Баланс олова:

0{,}75 + 0{,}45 x = 0{,}35 (5 + x)

Решаем уравнение

Раскроем скобки справа:

0{,}75 + 0{,}45 x = 1{,}75 + 0{,}35 x

Соберём $x$ слева, числа $-$ справа:

0{,}45 x - 0{,}35 x = 1{,}75 - 0{,}75

0{,}1 x = 1

x = 10

Отвечаем на вопрос задачи

Масса второго куска $-$ $10$ кг. Но в задаче спрашивают разность масс:

10 - 5 = 5 \text{ кг}

Ответ: $5$

Частые ошибки

Что запомнить

Главное правило смешивания: $m_{\text{вещ. 1}} + m_{\text{вещ. 2}} = m_{\text{итог}}$ .
Масса чистого вещества $=$ масса раствора $\cdot$ процент $/$ $100$ . Для $15\%$ это $0{,}15$ .
Чистая вода: $0\%$ , чистый металл или чистая соль: $100\%$ .
Таблица "до / после" с тремя столбцами $-$ масса, процент, масса вещества $-$ снимает большую часть ошибок в уравнении.
Перечитывай вопрос задачи перед записью ответа: часто спрашивают не $x$ , а разность масс или массу итогового сплава.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: $10$ - $15$ минут. Это одна из самых трудоёмких задач базового уровня.
Приоритет: оставь задачу на конец экзамена. Сначала реши всю геометрию и вычислительные задания $1$ - $17$ .
Табличный метод: всегда выписывай "дано" таблицей "до / после" $-$ это снимает почти все ошибки в уравнении.
Проверка на здравый смысл: итоговая концентрация всегда между концентрациями смешиваемых частей. Если сплавил $15\%$ и $45\%$ , результат обязан быть больше $15$ и меньше $45$ . Вышло $50\%$ или $10\%$ $-$ ищи ошибку.

Проверь себя

Смешали равные массы $20\%$ -го и $40\%$ -го растворов кислоты. Какова концентрация итогового раствора?
Сколько килограммов чистой меди содержится в $40$ кг сплава с концентрацией меди $15\%$ ?
Что складывается при смешивании двух растворов?
Какая концентрация активного вещества у чистой воды в задачах на растворы?