Задачи на прогрессии

Задачи на прогрессии (Задание 20)

Задание 20 в базовом ЕГЭ по математике - это текстовая задача. Один из частых сюжетов здесь - задачи на последовательные изменения: увеличение числа мест в рядах амфитеатра, кладка брёвен в срубе, погашение кредита равномерно уменьшающимися платежами. Почти всегда такие задачи сводятся к арифметической прогрессии. Геометрическая попадается реже, но тоже встречается.

Суть темы

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением (или вычитанием) одного и того же значения.

Представь, что ты начинаешь отжиматься: в первый день делаешь $10$ раз, а каждый следующий день добавляешь по $2$ раза. Результаты по дням: $10,\, 12,\, 14,\, 16,\, 18,\, \dots$ Это и есть арифметическая прогрессия.

У неё три главных элемента:

• $a_1$ - первый член (с чего всё началось, в примере это $10$).

• $d$ - разность или шаг прогрессии (на сколько меняется каждое следующее число, у нас $d = 2$).

• $n$ - порядковый номер (например, день номер $5$).

Если $d > 0$, прогрессия растёт; если $d < 0$ - убывает; если $d = 0$ - все числа одинаковые.

Основные формулы

Результат на 3-й день можно посчитать в уме. Но для 20-го дня или общей суммы за месяц без формул легко ошибиться.

Чаще всего в задаче просят не последнее значение, а общую сумму (сколько всего мест в зале, сколько рублей за всю работу).

Геометрическая прогрессия отличается тем, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель). Пример: $2,\, 6,\, 18,\, 54,\, \dots$ - каждый раз в $3$ раза больше.

Алгоритм решения

Как только в задаче появляются слова «каждый следующий на ... больше (меньше), чем предыдущий», действуй по плану.

Примеры решения

Рассмотрим задачи от самых простых к более типичным для реального варианта.

Пример 1. Места в амфитеатре

Условие: В амфитеатре $14$ рядов. В первом ряду $20$ мест, а в каждом следующем на $3$ места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в этом амфитеатре?

Решение:

1. Выпишем данные:

   • В первом ряду $20$ мест $\implies a_1 = 20$.

   • В каждом следующем на $3$ больше $\implies d = 3$.

   • Всего $14$ рядов $\implies n = 14$.

2. Нам нужно найти общее количество мест, то есть сумму $S_{14}$.

3. Сначала узнаем, сколько мест в последнем, 14-м ряду:

$$a_{14} = 20 + 3 \cdot (14 - 1) = 20 + 3 \cdot 13 = 20 + 39 = 59$$

4. Теперь найдём сумму мест во всех рядах:

$$S_{14} = \dfrac{20 + 59}{2} \cdot 14 = \dfrac{79}{2} \cdot 14 = 79 \cdot 7 = 553$$

Ответ: $553$

Следующий пример - убывающая прогрессия. Принцип тот же, только $d$ отрицательное.

Пример 2. Кладка брёвен в срубе

Условие: Строитель укладывает брёвна в штабель: в нижнем ряду $30$ брёвен, и в каждом следующем ряду на $2$ бревна меньше, чем в предыдущем. Всего в штабеле $11$ рядов. Сколько брёвен в штабеле?

Третий сюжет - повторяющиеся операции (обмены). Формально это не прогрессия, но логика решения очень близка: находим, насколько меняется величина за один шаг.

Пример 3. Погашение кредита

Условие: Чтобы погасить кредит, клиент должен в первый месяц внести $5\,000$ рублей, а каждый следующий месяц вносить на $300$ рублей меньше, чем в предыдущий. Всего выплаты длятся $9$ месяцев. Сколько рублей всего заплатит клиент за весь срок?

Частые ошибки

Что запомнить

• Фразы «каждый следующий на ... больше (меньше)» - признак арифметической прогрессии; «каждый следующий в ... раз больше» - признак геометрической.

• Чтобы найти сумму, нужно знать значение на старте, значение на финише и количество шагов: $S = \dfrac{\text{первое} + \text{последнее}}{2} \cdot \text{количество}$.

• В задачах на обмены (фишки, монеты, наклейки) смотри на чистое изменение за одну операцию.

• Если формулы вылетели из головы, а шагов немного ($5-12$ штук) - просто посчитай всё вручную столбиком.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. В арифметической прогрессии $a_1 = 20$, $d = 3$. Чему равен $a_{14}$?
   • $59$
   • $62$
   • $42$
   • $56$
2. Как найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии?
   • $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
   • $S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$
   • $S_n = a_1 \cdot n + d$
   • $S_n = \dfrac{a_1 \cdot a_n}{2} \cdot n$
3. В штабеле $11$ рядов: в нижнем $30$ брёвен, в каждом следующем на $2$ меньше. Сколько всего брёвен?
   • $220$
   • $110$
   • $10$
   • $330$
4. В условии сказано «каждый следующий месяц в $2$ раза больше предыдущего». Какая это прогрессия?
   • Геометрическая со знаменателем $q = 2$
   • Арифметическая с разностью $d = 2$
   • Арифметическая с разностью $d = -2$
   • Это не прогрессия

Проверить