Действия со степенями

Действия со степенями (Задание 16)

Задание 16 проверяет твоё умение работать с числами и выражениями. Одной из самых частых тем здесь являются свойства степеней. В базовом ЕГЭ не нужно применять сложные алгебраические трюки - достаточно аккуратно использовать базовые правила и не запутаться в знаках, особенно если степень отрицательная.

Суть темы

Степень показывает, сколько раз число (основание) умножается само на себя. Если у нас есть $a^n$, то $a$ - это основание, а $n$ - показатель степени.

Главное правило задания 16: никогда не возводи большие числа в степень в лоб. Если видишь что-то вроде $4^5$, не пытайся умножать четверку пять раз. Сначала упрости выражение с помощью свойств степеней, и в конце у тебя останется простое вычисление.

Основные формулы

Эти формулы работают, когда у выражений одинаковые основания.

Особое внимание удели отрицательным показателям. Минус в показателе не делает само число отрицательным, он переворачивает дробь.

Редко, но бывает и дробный показатель - он означает корень.

Алгоритм решения

В большинстве задач на степени алгоритм действий одинаков.

Примеры решения

Разберём типичные задачи от самых простых к тем, где легко ошибиться.

Пример 1. Сведение к одному основанию

Найди значение выражения $\dfrac{9^3 \cdot 27}{3^8}$.

Пример 2. Степень в степени и отрицательные показатели

Найди значение выражения $\left( 2^{-3} \cdot 2^5 \right)^3$.

В базе очень часто встречаются задачи со стандартным видом числа - это когда обычные числа умножаются на $10$ в какой-то степени. Решаются они группировкой.

Пример 3. Работа с десятками

Найди значение выражения $2{,}5 \cdot 10^5 \cdot 8 \cdot 10^{-3}$.

Иногда в задаче нужно не умножать, а складывать. Свойства степеней тут не работают, но работает вынесение общего множителя - даже если показатели разные.

Пример 4. Сложение со степенями разных показателей

Найди значение выражения $3^5 + 2 \cdot 3^4$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Свойства степеней применяются только для одинаковых оснований. Если основания разные, попытайся свести их к одному (например, $9 = 3^2$).

• При умножении показатели складываем, при делении - вычитаем.

• Минус в показателе означает дробь: $\dfrac{1}{a^n}$.

• При работе с научным форматом (числа вида $A \cdot 10^n$) считай обычные числа с обычными, а десятки - с десятками.

Проверь себя

1. Чему равно $2^{-3} \cdot 2^5$?
   • $2^2 = 4$
   • $2^{-15}$
   • $2^8$
   • $4^2$
2. Чему равно $(3^2)^4$?
   • $3^6$
   • $3^8$
   • $9^8$
   • $3^{16}$
3. Чему равно $\dfrac{10^2}{10^{-2}}$?
   • $10^0 = 1$
   • $10^4$
   • $10^{-4}$
   • $10^{-1}$
4. Как записать $5^{-2}$ без отрицательного показателя?
   • $\dfrac{1}{25}$
   • $-25$
   • $-\dfrac{1}{25}$
   • $\dfrac{1}{10}$

Проверить