Окружность

Окружность и её элементы (Задание 12)

Задание 12 базового ЕГЭ по математике проверяет знание планиметрии. Окружность - одна из самых частых фигур здесь: колесо обозрения, арка моста, циферблат часов, мишень для стрельбы. Задачи базового экзамена редко требуют сложных теорем. Чаще всего всё сводится к пониманию углов или поиску прямоугольного треугольника, спрятанного внутри круга.

Суть темы

Окружность - это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом ($R$).

В задачах ЕГЭ часто встречаются три важные линии:

1. Хорда - отрезок, соединяющий две точки на окружности. Самая длинная хорда проходит через центр и называется диаметром ($D = 2R$).
2. Касательная - прямая, которая касается окружности ровно в одной точке. Представь рельсы и колесо поезда: точка соприкосновения одна.
3. Секущая - прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Ещё одно важное понятие - дуга. Это часть окружности между двумя точками. Дуга измеряется в градусах так же, как центральный угол: полная окружность - это дуга $360^\circ$, половина - дуга $180^\circ$, четверть - $90^\circ$.

Основные формулы и ключевые факты

Чтобы успешно решать задачи на окружность, достаточно знать пять базовых фактов. Они покрывают практически все задачи этого типа на базовом ЕГЭ.

Алгоритм решения

В геометрии правильный дополнительный рисунок - это половина решения.

Примеры решения

Разберём пять задач: от простой работы с углами до типичных сюжетов с хордой, касательной и вписанным четырёхугольником.

Пример 1. Колесо обозрения

Условие: У колеса обозрения $18$ кабинок, расположенных через равные промежутки. Кабинка $A$ и кабинка $B$ видны из центра колеса $O$ под центральным углом $AOB$. Между $A$ и $B$ по окружности - $6$ промежутков. Найди величину центрального угла $AOB$ в градусах.

Решение:

1. Полный круг содержит $360^\circ$ и разбит на $18$ равных частей.
2. Один промежуток соответствует углу

$$\dfrac{360^\circ}{18} = 20^\circ$$

3. Между $A$ и $B$ - шесть таких промежутков, значит

$$\angle AOB = 6 \cdot 20^\circ = 120^\circ$$

Ответ: $120$

Пример 2. Вписанный и центральный угол

Условие: Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$. Центральный угол $AOB$ равен $110^\circ$. Найди величину вписанного угла $ACB$, если он опирается на ту же дугу $AB$. Ответ дай в градусах.

Решение:

1. Угол $AOB$ - центральный, значит, дуга $AB$, на которую он опирается, равна $110^\circ$.
2. Угол $ACB$ - вписанный. По правилу, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
3. Считаем:

$$\angle ACB = \dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Ответ: $55$

Пример 3. Поиск длины хорды (арка моста)

Условие: Арка моста имеет форму дуги окружности. Расстояние от центра окружности до хорды $AB$ (основания арки) равно $5$ м. Найди длину хорды $AB$, если радиус окружности равен $13$ м.

Пример 4. Касательная и радиус

Условие: Прямая касается окружности в точке $K$. Точка $O$ - центр окружности. Отрезок $OB$ выходит из центра наружу, причём расстояние от центра до точки $B$ равно $17$. Найди длину отрезка касательной $KB$, если радиус окружности равен $8$.

Пример 5. Вписанный четырёхугольник

Условие: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Известно, что $\angle A = 75^\circ$ и $\angle B = 110^\circ$. Найди угол $C$.

Решение:

По Факту 4 сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. Угол $A$ и угол $C$ - противоположные, поэтому

$$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$

Угол $B = 110^\circ$ в этой задаче избыточный - он просто подтверждает, что четырёхугольник корректно задан (тогда $\angle D = 70^\circ$).

Ответ: $105$

Частые ошибки

Что запомнить

• Радиусы равны. Везде, где от центра проведена линия к окружности, подписывай одинаковую длину.

• Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

• Касательная образует прямой угол с радиусом, проведённым в точку касания. Это верный путь к теореме Пифагора.

• Расстояние от центра до хорды делит её пополам и образует прямоугольный треугольник с радиусом.

• Вписанный четырёхугольник: $\angle A + \angle C = 180^\circ$, $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

• Пересекающиеся хорды: произведения их отрезков равны - $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Проверь себя

1. Центральный угол окружности равен $80^\circ$. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?
   • $40^\circ$
   • $80^\circ$
   • $160^\circ$
   • $100^\circ$
2. Радиус окружности равен $10$, расстояние от центра до хорды равно $6$. Чему равна длина хорды?
   • $16$
   • $8$
   • $4$
   • $12$
3. Прямая касается окружности в точке $K$, $O$ - центр. Чему равен угол между радиусом $OK$ и касательной?
   • $90^\circ$
   • $45^\circ$
   • $60^\circ$
   • Зависит от радиуса
4. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle B = 100^\circ$. Чему равен $\angle D$?
   • $80^\circ$
   • $100^\circ$
   • $90^\circ$
   • $260^\circ$

Проверить