Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения (Задание 17)

Задание 17 в базовом ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Один из самых частых сюжетов этого номера - логарифмические уравнения. Многих пугает само слово «логарифм», но на базовом уровне все задачи сводятся к двум-трём простым правилам и не требуют глубоких познаний в высшей математике.

Логарифмы окружают тебя чаще, чем кажется: громкость звука в децибелах, кислотность среды в единицах pH, магнитуда землетрясений по шкале Рихтера - всё это логарифмические величины. Когда воздействие растёт в 10 раз, такая шкала прибавляет всего одну единицу. На ЕГЭ же задачи технические: найти $x$ из уравнения с логарифмом.

Суть темы

Логарифм - это просто действие, обратное возведению в степень. Запись $\log_a b = c$ отвечает на один вопрос: «в какую степень нужно возвести число $a$ (основание), чтобы получить число $b$ (аргумент)?»

Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$.

Логарифм можно и увидеть: на графике $y = \log_a x$ высота точки над числом $x$ - это та самая степень.

Логарифмическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная $x$ прячется внутри логарифма (находится на месте аргумента). Чтобы добраться до $x$, логарифм нужно «раскрыть» или «отбросить».

Основные формулы

Для решения всех задач базового ЕГЭ по этой теме достаточно знать определение логарифма и два его свойства.

Если в уравнении несколько логарифмов, их нужно объединить. Для этого работают свойства сложения и вычитания (основания логарифмов при этом должны быть одинаковыми!):

Алгоритм решения

У логарифма есть жёсткое ограничение: аргумент (то, что стоит под знаком $\log$) обязан быть строго положительным. Это и есть ОДЗ - область допустимых значений. В профильной математике ОДЗ выписывают заранее системой неравенств, но в базе надёжнее и быстрее поступить иначе: решить уравнение, а затем подстановкой проверить, не обращает ли найденный корень аргумент логарифма в ноль или отрицательное число.

Примеры решения

Разберём три задачи от самых простых к тем, где нужно применять свойства.

Пример 1. Уравнение по определению

Найди корень уравнения $\log_5 (3x - 2) = 2$.

Решение: Перед нами классическое уравнение вида $\log_a b = c$. Применим определение логарифма (правило круга): основание $5$ в степени $2$ даёт то, что внутри скобок.

1. Запишем это математически:

$$3x - 2 = 5^2$$

2. Возведём пятёрку в квадрат:

$$3x - 2 = 25$$

3. Перенесём число $-2$ вправо с противоположным знаком:

$$3x = 25 + 2$$

$$3x = 27$$

4. Разделим обе части на $3$:

$$x = 9$$

Проверка: подставим $x = 9$ в условие. $3 \cdot 9 - 2 = 27 - 2 = 25$. $\log_5 25 = 2$. Всё верно, $5^2 = 25$.

Ответ: $9$

Пример 2. Сумма логарифмов

Найди корень уравнения $\log_3 (x + 4) + \log_3 2 = \log_3 20$.

Пример 3. Десятичный логарифм и разность

Найди корень уравнения $\lg (4x - 1) - \lg 2 = \lg 6$.

Частые ошибки

Помимо ОДЗ, есть ещё две ловушки, которые съедают баллы чаще всего. Обе связаны с путаницей в том, как именно «работает» логарифм.

Что запомнить

• Избавляемся от логарифма с помощью "правила круга": $\log_a b = c \implies a^c = b$.
• Если $\log$ складываются - аргументы перемножаем.
• Если $\log$ вычитаются - аргументы делим.
• $\lg$ - это логарифм по основанию $10$. Относись к нему как к любому другому логарифму.
• Аргумент логарифма строго больше нуля - это ОДЗ. Вместо формального выписывания неравенств подставь найденный $x$ в исходное уравнение и убедись, что все аргументы положительные.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен $x$ в уравнении $\log_2 (x - 1) = 3$?
   • $x = 9$
   • $x = 7$
   • $x = 4$
   • $x = 6$
2. Как свернуть сумму $\log_a x + \log_a y$?
   • $\log_a (x \cdot y)$
   • $\log_a (x + y)$
   • $\log_{a^2} (x \cdot y)$
3. Что означает запись $\lg x$?
   • Логарифм по основанию $10$
   • Логарифм по основанию $2$
   • Натуральный логарифм (по основанию $e$)
4. Каким должен быть аргумент логарифма (ОДЗ)?
   • Строго положительным
   • Неотрицательным (можно ноль)
   • Любым, кроме единицы

Проверить