Формулы с одной и двумя переменными

Формулы с одной и двумя переменными (Задание 4)

Задание 4 в базовом ЕГЭ проверяет умение работать с готовыми формулами. Обычно это реальные законы из физики, геометрии или экономики. Хорошая новость в том, что тебе не нужно знать физику или помнить эти формулы наизусть. Всё необходимое уже есть в условии, задача сводится к аккуратной подстановке чисел и решению простого уравнения.

Суть темы

Работа с формулой всегда состоит из двух этапов: подстановка известных значений и поиск неизвестного. В зависимости от того, какую именно величину нужно найти, математически задача сводится к одному из трёх типов уравнений:

1. Прямое вычисление: все переменные справа известны, нужно просто посчитать значение левой части (самый простой случай).
2. Линейное уравнение: неизвестная переменная находится внутри формулы без степеней.
3. Уравнение с дробью (пропорция): неизвестная находится в знаменателе или в сложной многоэтажной дроби.

В школьной физике часто учат сначала выразить нужную букву в общем виде, а уже потом подставлять значения. На базовом ЕГЭ по математике такой подход чаще всего приводит к обидным алгебраическим ошибкам. Гораздо безопаснее подставить все числа сразу - тогда сложная многоэтажная формула превратится в обычное, знакомое уравнение.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём разные типы формул: от простых житейских расчётов до физических законов с дробями.

Прямое вычисление

Это базовый случай, где нужно просто выполнить арифметические действия.

Пример 1. Расчёт стоимости

В компании «Светлый дом» стоимость установки натяжных потолков (в рублях) вычисляется по формуле $C = 3500 + 850 \cdot n$, где $n$ - площадь потолка в квадратных метрах. Пользуясь этой формулой, рассчитай стоимость установки потолка площадью $14$ квадратных метров.

Поиск переменной внутри формулы

Здесь нужно найти величину, которая находится "внутри" выражения.

Пример 2. Длина и скорость

Длина тормозного пути автомобиля (в метрах) до полной остановки приближённо вычисляется по формуле $S = v \cdot t + \dfrac{v^2}{20}$, где $v$ - скорость в начале торможения (в м/с), а $t$ - время реакции водителя (в секундах). Пользуясь этой формулой, найди время реакции водителя $t$, если при скорости $v = 10$ м/с тормозной путь составил $S = 25$ метров.

Работа с дробями и пропорциями

Часто формулы содержат дроби, в которых неизвестная может оказаться в знаменателе или в числителе многоэтажной конструкции.

Пример 3. Плотность и объём

Плотность вещества вычисляется по формуле $\rho = \dfrac{m}{V}$, где $m$ - масса тела (в килограммах), а $V$ - его объём (в кубических метрах). Пользуясь этой формулой, найди объём $V$ (в кубических метрах) куска металла, если его масса $m = 78$ кг, а плотность $\rho = 7{,}8$ кг/м$^3$.

Формулы со степенями

Если неизвестная величина находится в квадрате, в конце потребуется извлечь корень.

Пример 4. Свободное падение

Высота, с которой тело падает без начальной скорости (в метрах), вычисляется по формуле $h = \dfrac{g \cdot t^2}{2}$, где $g = 10$ м/с$^2$ - ускорение свободного падения, а $t$ - время падения (в секундах). Пользуясь этой формулой, найди время падения $t$ (в секундах), если тело упало с высоты $h = 45$ метров.

Частые ошибки

Что запомнить

• Сначала подставляй числа, потом решай уравнение. Это самый надёжный путь.
• Соблюдай порядок действий при подстановке: сначала степень, потом умножение, потом сложение.
• Если неизвестная оказалась в знаменателе - умножь обе части уравнения на неё.
• Если в формуле есть квадрат неизвестной (например, $t^2$), не забудь извлечь корень в самом конце и взять положительный ответ.
• Если нужно избавиться от десятичной запятой в знаменателе дроби (например, $\dfrac{78}{7{,}8}$), умножь числитель и знаменатель на $10$, $100$ и т.д.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. С чего надёжнее начинать решение задачи с формулой на базовом ЕГЭ?
   • Сразу подставить все известные числа, потом решать уравнение
   • Сначала выразить неизвестную букву в общем виде
   • Перевести все единицы измерения в СИ
   • Выучить формулу наизусть и решать без черновика
2. По формуле $C = 3500 + 850 \cdot n$ стоимость при $n = 10$ равна:
   • $8500$
   • $12000$
   • $43500$
   • $12350$
3. Из уравнения $7{,}8 = \dfrac{78}{V}$ следует, что $V$ равно:
   • $10$
   • $0{,}1$
   • $608{,}4$
   • $70{,}2$
4. В формуле $h = \dfrac{g \cdot t^2}{2}$ при $g = 10$ и $t = 3$ значение $h$ равно:
   • $45$
   • $450$
   • $15$
   • $90$

Проверить