Решение неравенств

Решение неравенств (Задание 18)

Задание 18 ЕГЭ-база проверяет, умеешь ли ты решать простейшие неравенства и понимать, какие числа попадают в решение. Часто формулировка звучит так: "Какое из чисел $-3$, $0$, $2$, $5$ принадлежит решению неравенства?". Иногда -- более длинная: "Установи соответствие между неравенствами и их решениями". В обоих случаях задача сводится к одному -- нужно правильно определить промежуток, который является решением.

Суть темы

Неравенство похоже на уравнение, но вместо знака $=$ стоят знаки $<$, $>$, $\leqslant$ или $\geqslant$. Ответ -- не одно число, а целый кусок числовой прямой, который называется промежутком.

Промежуток записывают двумя способами:

• круглые скобки ( и ) -- точка не входит в промежуток (строгое неравенство $<$, $>$)

• квадратные скобки [ и ] -- точка входит в промежуток (нестрогое неравенство $\leqslant$, $\geqslant$)

В заданиях базы ответ -- номер правильного варианта (если это соответствие) или число, которое принадлежит решению (если проверка принадлежности).

Ключевые правила

Есть одно главное правило, из-за которого чаще всего совершают ошибки.

Для квадратных неравенств и выражений со скобками работает метод интервалов.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три типичных сюжета.

Пример 1. Линейное неравенство

Условие: Какое из чисел $-4$, $-1$, $2$, $6$ принадлежит решению неравенства $7 - 2x \geqslant 3$?

Решение:

Решаем неравенство. Переносим $7$ направо, чтобы неизвестное осталось слева:

$$-2x \geqslant 3 - 7$$

$$-2x \geqslant -4$$

Делим обе части на $-2$. Число отрицательное, значит знак переворачивается:

$$x \leqslant 2$$

Решение -- промежуток $(-\infty;\, 2]$. Проверим числа:

• $-4 \leqslant 2$ -- верно, подходит

• $-1 \leqslant 2$ -- верно, подходит

• $2 \leqslant 2$ -- верно, подходит (нестрогое неравенство)

• $6 \leqslant 2$ -- неверно

Задача спрашивает одно число -- первое подходящее в списке. Но обычно в ЕГЭ среди вариантов подходит ровно один. Здесь условие я бы уточнил: если требуется наибольшее принадлежащее -- это $2$, если наименьшее -- $-4$.

Ответ: $2$

Пример 2. Квадратное неравенство

Условие: Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства $x^2 - 5x + 4 \leqslant 0$?

Пример 3. Дробное неравенство

Условие: Найди наименьшее целое число, принадлежащее решению неравенства $\dfrac{1}{x-3} > 0$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Круглая скобка ( -- точка выколота (строгое неравенство). Квадратная [ -- входит (нестрогое).

• Умножение или деление на отрицательное -- знак переворачивается.

• Для произведения скобок $(x-a)(x-b) < 0$: решение -- между корнями.

• Для $(x-a)(x-b) > 0$: решение -- "снаружи" корней.

• Знаменатель дроби никогда не равен нулю -- точку всегда выколи, даже при $\leqslant$ или $\geqslant$.

• Бесконечность всегда с круглой скобкой: $(-\infty;\, 5]$, $(3;\, +\infty)$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. При делении обеих частей неравенства $-3x < 12$ на $-3$ получится:
   • $x > -4$
   • $x < -4$
   • $x < 4$
2. Сколько целых чисел принадлежит промежутку $[1;\, 4]$?
   • $4$
   • $3$
   • $2$
3. Каково решение неравенства $\dfrac{1}{x-2} \geqslant 0$?
   • $(2;\, +\infty)$
   • $[2;\, +\infty)$
   • $(-\infty;\, 2)$
4. Какое наименьшее целое число принадлежит промежутку $(3;\, +\infty)$?
   • $4$
   • $3$
   • $5$

Проверить