Поиск

Задание 12: Планиметрия

Содержание

Планиметрия: фигуры на плоскости (Задание 12)

Задание 12 ЕГЭ-база - это классическая планиметрия (геометрия на плоскости). Здесь не нужно доказывать сложные теоремы или строить хитрые дополнительные линии. Все задачи решаются в 1-2 действия с использованием базовых свойств фигур и теоремы Пифагора.

Ответ в этом задании всегда записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Какие темы встречаются

В этом номере проверяется знание свойств двумерных фигур. По статистике банка задач, темы распределяются так:

  • Четырёхугольники (около 80% задач): прямоугольники, ромбы, параллелограммы и трапеции. Чаще всего просят найти сторону, диагональ или площадь, используя прямоугольные треугольники внутри фигуры.
  • Треугольники (около 15% задач): равнобедренные и прямоугольные треугольники. Главные инструменты - теорема Пифагора и свойства медианы/высоты.
  • Окружности и многоугольники (около 5% задач): простейшие задачи на деление круга на секторы (знаменитая задача про «колесо со спицами») или вписанные углы.

Ключевые формулы

Площади фигур есть в справочных материалах, но запомни их, чтобы не тратить время на лист:

Общий алгоритм решения

Почти любая геометрическая задача базового уровня сводится к поиску нужного прямоугольного треугольника.

Примеры решения

Посмотри на задачи из трёх самых частых сюжетов этого номера.

Пример 1. Равнобедренный треугольник

Условие: В треугольнике ABCABC известно, что AB=BC=17AB = BC = 17, а основание AC=16AC = 16. Найди площадь треугольника ABCABC.

Равнобедренный треугольник ABC
Пример 2. Прямоугольник и углы

Условие: На стороне BCBC прямоугольника ABCDABCD, у которого AB=15AB = 15 и AD=23AD = 23, отмечена точка EE так, что угол EABEAB равен 45∘45^\circ. Найди длину отрезка EDED.

Прямоугольник ABCD с точкой E
Пример 3. Колесо со спицами (многоугольники)

Условие: Колесо имеет 1515 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найди величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Колесо с 15 спицами

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

Проверь себя
  1. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 1010, основание равно 1212. Чему равна высота, проведённая к основанию?
  2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1313, один из катетов равен 55. Чему равен второй катет?
  3. Колесо имеет 1818 спиц, углы между соседними спицами равны. Чему равен угол между двумя соседними спицами?
  4. Диагонали какой из фигур всегда пересекаются под прямым углом?