Задание 13: Задачи по стереометрии

О задании 13

Задание 13 в базовом ЕГЭ по математике - это задача по стереометрии. В отличие от задания 11, где часто встречаются составные многогранники или задачи "на переливание воды", тринадцатый номер обычно проверяет умение работать с круглыми телами (конусом, цилиндром, шаром) и базовыми многогранниками (параллелепипедом, призмой).

Здесь проверяется прямое знание формул площадей и объёмов, а также понимание того, как эти величины меняются, если изменить размеры фигуры.

Ответ всегда - целое число или конечная десятичная дробь. Если в задаче фигурирует число $\pi$, оно обязательно сократится в процессе решения.

Какие темы встречаются

В банке заданий преобладают следующие типы фигур (от самых частых к более редким):

1. Прямоугольный параллелепипед и куб (около 40% задач) - поиск площади полной поверхности по трём измерениям или объёма. Часто в условии уже приведена готовая формула $S = 2(ab+ac+bc)$ - остаётся только подставить числа.
2. Конус (около 30% задач) - поиск высоты или радиуса, если известен объём. Может фигурировать диагональ осевого сечения или длина образующей.
3. Цилиндр (около 10-15% задач) - сравнение площадей боковой поверхности или объёмов двух цилиндров с разными размерами.
4. Прямая призма (около 10-15% задач) - базовая формула объёма $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, обычно для правильной треугольной или четырёхугольной призмы.
5. Шар (встречается реже) - сравнение площадей поверхности или объёмов двух шаров с разными радиусами.

Ключевые формулы

Для уверенного решения достаточно запомнить формулы полной поверхности и объёма основных тел.

Общий алгоритм решения

Задачи этого номера можно разделить на два основных типа. Для каждого нужен свой подход.

Примеры решений

Рассмотрим две типичные задачи из разных подтем: прямое вычисление для параллелепипеда и поиск неизвестного элемента у конуса.

Пример 1. Площадь поверхности параллелепипеда

Условие: Найди площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $2$, $6$ и $7$.

Пример 2. Поиск высоты конуса через объём

Условие: Объём конуса равен $24\pi$, а радиус его основания равен $6$. Найди высоту конуса.

Частые ошибки

В этом задании баллы чаще всего теряют не из-за незнания геометрии, а из-за невнимательности при чтении условия.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна площадь полной поверхности куба с ребром $3$?
   • $54$
   • $27$
   • $36$
   • $18$
2. Объём конуса равен $12\pi$, радиус основания равен $2$. Чему равна высота?
   • $9$
   • $3$
   • $6$
   • $18$
3. Радиус шара увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
   • В $27$ раз
   • В $9$ раз
   • В $3$ раза
   • В $6$ раз
4. В условии дан диаметр цилиндра, равный $8$. Что нужно подставить в формулу $V = \pi R^2 h$ вместо $R$?
   • $4$
   • $8$
   • $16$
   • $2$

Проверить