Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

В задании 16 ЕГЭ базового уровня часто встречаются два сюжета. Первый: дано выражение с табличными углами ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$) - нужно подставить значения и посчитать. Второй: известна одна функция (например, синус), найти нужно другую (косинус или тангенс). Чтобы с этим справиться, достаточно таблицы углов и одной ключевой формулы - основного тригонометрического тождества.

Суть темы

Главная идея опирается на единичную окружность и теорему Пифагора, которая в тригонометрии превращается в основное тригонометрическое тождество. Если возвести синус угла в квадрат и прибавить квадрат косинуса того же угла, всегда получится единица. Зная эту связь, можно как по цепочке распутывать любые значения. Единственная сложность - правильно определить знак результата (плюс или минус). За знак отвечает координатная четверть, в которой находится угол - проверь это на модели ниже.

Основные формулы и факты

Для этой темы нужно помнить таблицу углов и две формулы.

Чтобы выбрать правильный знак при извлечении корня, нужно посмотреть на интервал, которому принадлежит угол $\alpha$, и вспомнить знаки функций по четвертям.

Алгоритм решения

Задачи этого типа решаются по единому прямолинейному шаблону.

Примеры решения

Разберём задачи от самой простой (подстановка табличных значений) до поиска тангенса с учётом знака.

Пример 1. Подстановка табличных значений

Вычисли значение выражения $4 \sin 30^\circ + 2 \cos 60^\circ$.

Решение:

1. Посмотри в таблицу. $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.
2. Подставь значения:

$$4 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 2 + 1 = 3$$

Ответ: $3$

Пример 2. Поиск косинуса с отрицательным синусом

Найди $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{51}}{10}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$.

Пример 3. Поиск тангенса

Найди $\tg \alpha$, если $\sin \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{29}}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Шаг 1: Квадрат известной функции. Отрицательные числа станут положительными.

• Шаг 2: Единица минус этот квадрат.

• Шаг 3: Извлечение корня с оглядкой на градусы.

  • I четверть ($0^\circ-90^\circ$): все с плюсом.

  • II четверть ($90^\circ-180^\circ$): синус с плюсом, косинус и тангенс с минусом.

  • III четверть ($180^\circ-270^\circ$): тангенс с плюсом, синус и косинус с минусом.

  • IV четверть ($270^\circ-360^\circ$): косинус с плюсом, синус и тангенс с минусом.

• При поиске тангенса "страшные" корни в знаменателях всегда сокращаются.

• Табличные значения для $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ нужно знать наизусть.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равно $\sin 30^\circ$?
   • $\dfrac{1}{2}$
   • $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   • $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
2. Известно, что $\cos^2 \alpha = 0{,}36$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Чему равен $\cos \alpha$?
   • $0{,}6$
   • $-0{,}6$
   • $0{,}36$
3. Какой знак имеет тангенс в III четверти ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$)?
   • плюс
   • минус
   • тангенс там не определён
4. Чему равно $\left( -\dfrac{\sqrt{51}}{10} \right)^2$?
   • $\dfrac{51}{100}$
   • $-\dfrac{51}{100}$
   • $\dfrac{51}{10}$

Проверить