Треугольник

Треугольник (Задание 10)

В задании 10 ЕГЭ-база встречается много сюжетов из прикладной геометрии: тень от фонаря, флаг на ветру, скат крыши, полка-уголок, клин торта. Почти все они сводятся к одной фигуре - треугольнику. В этом конспекте разберём главные формулы про треугольник: как находить площадь, как связаны стороны прямоугольного треугольника и как всё это быстро применять на экзамене.

Суть темы

Треугольник - плоская фигура из трёх сторон и трёх углов. Сумма углов всегда равна $180^\circ$. У любого треугольника есть три высоты (каждая выходит из вершины и перпендикулярна противоположной стороне), три медианы и три биссектрисы.

Для задач 10 номера знание всех этих линий не нужно. Достаточно уверенно работать с двумя вещами: площадью треугольника и теоремой Пифагора (для прямоугольных треугольников).

Основные формулы

Для базы достаточно трёх формул. Первые две - про площадь, третья - про стороны прямоугольного треугольника.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи: от подстановки в готовую формулу до задачи с Пифагором.

Пример 1. Площадь треугольного флажка

Условие: Треугольный флажок для школьной линейки имеет основание $30$ см и высоту, опущенную на это основание, $40$ см. Найди площадь флажка в квадратных сантиметрах.

Решение:

Применим формулу площади через основание и высоту:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40$$

Сначала посчитаем $30 \cdot 40 = 1200$. Потом разделим пополам:

$$S = \dfrac{1200}{2} = 600$$

Ответ: $600$

Пример 2. Высота ската крыши

Условие: Скат крыши имеет форму прямоугольного треугольника. Его гипотенуза - стропило длиной $5$ м. Горизонтальное основание ската равно $4$ м. Найди вертикальную высоту ската (в метрах).

Пример 3. Площадь полки-уголка

Условие: Полка-уголок крепится к стене так, что её рабочая поверхность - треугольник со сторонами $20$ см и $30$ см, выходящими из одной точки, а угол между этими сторонами равен $30^\circ$. Найди площадь полки в квадратных сантиметрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

• Площадь: $S = \dfrac{1}{2} a h$ или $S = \dfrac{1}{2} a b \sin C$ - бери ту формулу, для которой известны данные.

• Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ - гипотенуза.

• Пифагоровы тройки: $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$ (и их кратные). Увидев две стороны из тройки - третью называй без вычислений.

• $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90^\circ = 1$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Основание треугольника равно $10$, высота к нему равна $6$. Чему равна площадь?
   • $30$
   • $60$
   • $16$
2. В прямоугольном треугольнике катеты равны $5$ и $12$. Чему равна гипотенуза?
   • $17$
   • $13$
   • $\sqrt{119}$
3. Две стороны треугольника равны $8$ и $6$, угол между ними $30^\circ$. Чему равна площадь?
   • $24$
   • $12$
   • $48$
4. Гипотенуза равна $10$, один катет равен $8$. Чему равен второй катет?
   • $6$
   • $2$
   • $\sqrt{164}$

Проверить