Задание 17: Простейшие уравнения

О задании

Задание 17 в ЕГЭ по математике базового уровня проверяет твоё умение решать простейшие уравнения. Это классическая алгебра из школьной программы, где от тебя требуется найти неизвестный $x$.

Все задачи здесь оцениваются в 1 балл, а ответом всегда будет целое число или конечная десятичная дробь. В этом задании не бывает сложных систем или уравнений, требующих громоздких замен и знания глубокой теории. Главное - аккуратность в вычислениях.

Какие темы встречаются

В банке заданий для номера 17 можно выделить четыре основные группы.

1. Многочлены: линейные, квадратные, кубические (около 40%) Здесь нужно раскрыть скобки (часто по формулам сокращённого умножения), привести подобные слагаемые или извлечь корень. Если получается квадратное уравнение с двумя корнями, в условии обязательно скажут, какой из них записать в ответ (например, "впишите больший корень").
2. Показательные уравнения (около 35%) Уравнения, где неизвестный $x$ прячется в показателе степени, например $2^{x-1} = 8$.
3. Логарифмические уравнения (около 15%) Уравнения со значком $\log$. Обычно нужно применить одно свойство (сложение или вычитание логарифмов) и избавиться от них.
4. Иррациональные уравнения (около 10%) Уравнения с квадратным корнем, например $\sqrt{3x - 2} = 4$.

Ключевые приёмы

Три из четырёх подтем решаются одним и тем же методом - "снять" внешнюю функцию и приравнять то, что под ней. Вот два главных правила, которые нужно знать наизусть.

Для показательных уравнений часто нужны свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Для логарифмических - свойство суммы и разности: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$.

Общий алгоритм решения

Большинство простейших уравнений в базовом ЕГЭ решается методом "снятия слоёв". Твоя задача - сделать так, чтобы слева и справа стояла одинаковая математическая конструкция, которую потом можно будет просто отбросить.

Примеры решения

Рассмотрим самые популярные типы - показательное и логарифмическое уравнения.

Пример 1. Показательное уравнение с разными основаниями

Найдите корень уравнения $4^{x + 1} = 32$.

Пример 2. Логарифмическое уравнение

Найдите корень уравнения $\log_3 (x + 2) = 2$.

Частые ошибки

В этих уравнениях главное - не торопиться "сокращать" всё подряд.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен корень уравнения $2^{x-1} = 8$?
   • $x = 4$
   • $x = 3$
   • $x = 9$
2. Уравнение $\log_5 (x - 1) = 2$. Чему равен $x$?
   • $x = 11$
   • $x = 26$
   • $x = 9$
3. Как правильно избавиться от корня в уравнении $\sqrt{3x - 2} = 4$?
   • Возвести в квадрат обе части: $3x - 2 = 16$
   • Зачеркнуть корень: $3x - 2 = 4$
   • Возвести в квадрат только левую часть
4. При каком условии верно $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$?
   • При любом $a$
   • При $a > 0$ и $a \neq 1$
   • Только при $a > 1$

Проверить