Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности (Задание 5)

Задание 5 базового ЕГЭ - это простейшая задача на вероятность из повседневной жизни: покупатель берёт случайную ручку, пассажиру достаётся случайное место, контролёр выбирает случайный насос. Ответ всегда простой: целое число, $0{,}5$, $0{,}25$, $0{,}04$ и подобные.

Суть темы

Вероятность события - это число от $0$ до $1$, которое показывает, насколько возможно это событие.

• Если вероятность равна $0$, событие никогда не произойдёт (невозможное событие).
• Если вероятность равна $1$, событие произойдёт точно (достоверное событие).
• Все остальные случаи - между нулём и единицей.

На ЕГЭ ответ всегда записывается в виде конечной десятичной дроби (например, $0{,}25$ или $0{,}8$), поэтому обыкновенные дроби в конце решения нужно переводить в десятичные.

Основные формулы

Большинство задач этого номера решается с помощью одной главной формулы.

Иногда в задаче проще найти вероятность того, что событие не произойдёт. Такие события называют противоположными. Сумма вероятностей события и его противоположного всегда равна единице.

Если в задаче есть два независимых события одновременно (например, два пенальти в разных матчах - исход одного не влияет на другой), их вероятности перемножаются.

Алгоритм решения

Для базовых задач с текстом про насосы, сумки, билеты или пассажиров отлично работает следующий план.

Примеры решений

Пять типичных сюжетов: от прямой подстановки в формулу до комбинации нескольких событий.

Пример 1. Прямое применение формулы

Условие: Фабрика выпускает портативные аккумуляторы. В среднем из $400$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $12$ имеют скрытый дефект. Найди вероятность того, что случайно выбранный аккумулятор окажется со скрытым дефектом.

Решение:

1. Общее количество аккумуляторов: $n = 400$.
2. Нас просят найти вероятность покупки дефектного аккумулятора. Благоприятные исходы - это дефектные устройства, их $m = 12$.
3. Применяем классическую формулу:

$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{12}{400}$$

4. Переведём в десятичную дробь. Удобно разделить числитель и знаменатель на $4$:

$$\dfrac{12}{400} = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$$

Ответ: $0{,}03$

Пример 2. Противоположное событие

Условие: В киоске продаётся $80$ лотерейных билетов. По статистике $4$ билета являются выигрышными. Покупатель выбирает один билет наугад. Найди вероятность того, что билет окажется не выигрышным.

Пример 3. Сумма благоприятных исходов

Условие: В вагоне электропоезда $80$ посадочных мест: $25$ мест у окна, $15$ мест у прохода, остальные - средние. Пассажир M не любит средние места и садится на случайное свободное. Найди вероятность того, что ему достанется удобное место (у окна или у прохода).

Пример 4. Бросок двух монет и умножение вероятностей

Условие: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Пример 5. Умножение независимых событий

Условие: Вратарь отбивает пенальти с вероятностью $0{,}4$. В двух разных матчах ему пришлось отбить по одному пенальти. Найди вероятность того, что вратарь отобьёт оба пенальти.

Частые ошибки

Что запомнить

• Проверяй себя: ответ в задачах на вероятность всегда начинается с "$0{,}\ldots$" (или равен $1$).
• Формула $\dfrac{m}{n}$ работает почти всегда. Главное - правильно найти $m$ (то, о чём спрашивают) и $n$ (всё вместе).
• Для противоположного события используй вычитание из единицы: $1 - P$.
• Для бросков монеты выписывай все комбинации буквами (ОО, ОР, РО, РР), чтобы не запутаться и наглядно увидеть количество исходов.
• Два независимых события (два выстрела, два пенальти, две попытки) - это умножение вероятностей.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. В коробке $50$ ручек, из них $10$ красных. Какова вероятность наугад взять красную ручку?
   • $0{,}2$
   • $0{,}1$
   • $0{,}25$
   • $5$
2. Вероятность того, что билет выигрышный, равна $0{,}05$. Какова вероятность взять невыигрышный билет?
   • $0{,}05$
   • $0{,}95$
   • $0{,}5$
   • $1{,}05$
3. Монету бросают дважды. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно один раз?
   • $0{,}25$
   • $0{,}5$
   • $0{,}75$
   • $1$
4. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}5$. Он делает два независимых выстрела. Какова вероятность, что он попадёт оба раза?
   • $1$
   • $0{,}5$
   • $0{,}25$
   • $0{,}75$

Проверить