Задание 19: Числа и их свойства

Выписываем ограничения

• $6100 < x < 6400$, значит $x = \overline{61bc}$, $\overline{62bc}$ или $\overline{63bc}$.
• $x$ делится на $36$.
• Сумма цифр равна $18$.

Раскладываем делимость на $36$

$36 = 4 \cdot 9$ (множители взаимно простые). Значит, нужно одновременно:

• делимость на $4$: две последние цифры образуют число, кратное $4$;
• делимость на $9$: сумма цифр кратна $9$ - это выполняется автоматически, так как сумма равна $18 = 9 \cdot 2$.

Подбираем оставшиеся цифры

Возьмём случай $x = \overline{62bc}$. Тогда $6 + 2 + b + c = 18$, то есть $b + c = 10$.

Пары цифр с суммой $10$: $(1;\, 9), (2;\, 8), (3;\, 7), (4;\, 6), (5;\, 5)$ и обратные. Нужна такая, чтобы $\overline{bc}$ делилось на $4$. Пара $(b;\, c) = (2;\, 8)$ даёт $28 = 4 \cdot 7$ - подходит.

Делаем финальную проверку

Число $6228$: сумма цифр $18$ (делится на $9$), последние две $28$ делятся на $4$. Значит, $6228$ делится на $36$: $6228 : 36 = 173$. Входит в интервал $(6100;\, 6400)$.

Ответ: $6228$ (подошло бы также $6372$: сумма $18$, $72 : 4 = 18$).

Разбираем условие делимости

Делимость на $12$ означает одновременную делимость на $3$ (сумма цифр кратна 3) и на $4$ (две последние цифры образуют число, кратное 4).

Обеспечиваем делимость на 4 (последние цифры)

Исходное число: $45341527$. Оно оканчивается на $27$. Это нечётно, на 4 не делится. Значит, последнюю цифру $7$ точно нужно вычеркнуть. Вычёркиваем $7$: осталось $4534152$. Смотрим на две последние цифры: $52$. Проверяем делимость на 4: $52 = 40 + 12 = 4 \cdot 13$. Делится! Значит, конец числа нас устраивает. Мы вычеркнули одну цифру, осталось вычеркнуть ещё две из части $45341$.

Обеспечиваем делимость на 3 (сумма цифр)

Сейчас у нас есть «заготовка» $4534152$. Найдём её сумму цифр: $4 + 5 + 3 + 4 + 1 + 5 + 2 = 24$. Сумма $24$ уже делится на $3$. Нам нужно вычеркнуть ещё ровно две цифры так, чтобы новая сумма тоже делилась на $3$. Значит, сумма этих двух вычеркнутых цифр должна делиться на 3 (то есть быть 3, 6, 9, 12 и т.д.).

Какие две цифры из $4, 5, 3, 4, 1$ в сумме дают кратное трём? Например: $4$ и $5$ (в сумме 9). Вычеркнем их: $\cancel{4}\cancel{5}34152 \implies 34152$.

Делаем финальную проверку

Получили число $34152$. Вычеркнули ровно 3 цифры? Да (4, 5 и 7). Делится на 4? Да (оканчивается на 52). Делится на 3? $3+4+1+5+2 = 15$, делится на 3. Значит, делится и на 12.

Ответ: 34152 (возможны и другие ответы, например 45312).