Окружность

Окружность (Задание 10)

Задание 10 базового ЕГЭ часто строят вокруг окружности: колесо со спицами, циферблат часов, круглый пруд, монета, пицца, круглый столик в кафе. Внутри одной темы встречаются три разных сюжета: деление круга на равные части, длина окружности и площадь круга. В этом конспекте разберём все три.

Суть темы

Окружность - это замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью (то есть "внутренность" плюс сама линия). В задачах базы тебе понадобятся несколько базовых величин.

Проверь определение руками: где бы ни была точка на окружности, её расстояние до центра одно и то же.

• Радиус $R$ - отрезок от центра до любой точки окружности.

• Диаметр $D = 2R$ - отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности.

• Хорда - любой отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр - самая длинная хорда.

• Дуга - часть окружности между двумя её точками.

• Сектор - часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой (как кусок пиццы).

• Полный круг содержит ровно $360^\circ$.

Основные формулы

Для задач базового ЕГЭ хватит четырёх формул. Все они встречаются в справочных материалах к экзамену.

Алгоритм решения

Примеры решения

Три примера от простого к сложному: деление круга, длина окружности, площадь круга с геометрическим довеском.

Пример 1. Штурвал и рулевые ручки

Условие: У штурвала катера $5$ одинаковых рулевых ручек, расположенных по окружности через равные углы. Найди величину угла (в градусах), который образуют две соседние ручки.

Решение:

1. Полный круг - $360^\circ$, ручек $n = 5$.
2. Угол между соседними ручками:

$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$$

Ответ: $72$

Пример 2. Круглый пруд

Условие: Пруд имеет форму круга радиуса $7$ м. Вокруг пруда проложили дорожку так, что её внешний край проходит по окружности того же радиуса. Найди длину дорожки (в метрах). Считай $\pi = 3$.

Пример 3. Кусок пиццы

Условие: Круглую пиццу диаметром $30$ см разрезали по радиусам на $6$ одинаковых кусков. Найди площадь одного куска (в квадратных сантиметрах). Считай $\pi = 3$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Длина окружности: $C = 2\pi R = \pi D$.

• Площадь круга: $S = \pi R^2$.

• Длина дуги с центральным углом $\alpha$: $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180}$.

• Угол между спицами при $n$ равных секторах: $\alpha = \dfrac{360^\circ}{n}$.

• Количество спиц равно количеству промежутков между ними (круг замкнут).

• Диаметр вдвое больше радиуса: $D = 2R$. Проверь это перед подстановкой.

• В базе обычно $\pi = 3$ (реже $3{,}14$). Смотри на условие.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна длина окружности радиуса $R$?
   • $2\pi R$
   • $\pi R^2$
   • $\pi R$
2. Колесо имеет $12$ спиц, расположенных через равные углы. Чему равен угол между соседними спицами?
   • $30^\circ$
   • $32{,}7^\circ$ (делили $360$ на $11$)
   • $15^\circ$
3. Круг имеет диаметр $8$. Чему равна его площадь при $\pi = 3$?
   • $48$
   • $192$ (подставили диаметр вместо радиуса)
   • $24$
4. Пруд имеет форму круга радиуса $10$ м. Какова длина его береговой линии при $\pi = 3$?
   • $60$ м
   • $30$ м
   • $300$ м

Проверить