Задачи на совместную работу

Содержание

Задачи на совместную работу (Задание 20)
Суть темы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить

Задачи на совместную работу (Задание 20)

Задачи на работу - это один из классических сюжетов текстового задания 20. Математически они ничем не отличаются от задач на движение. Если ты умеешь решать задачи про автомобили, то справишься и с принтерами, экскаваторами или сотрудниками, которые вместе выполняют общий заказ.

Суть темы

В задачах на работу вместо пройденного расстояния выступает объём выполненной работы. Вместо скорости движения - скорость работы (её называют производительностью). А время остаётся временем.

Связь между этими тремя величинами описывается одной простой формулой:

Где:

$A$ - объём работы (детали, литры, страницы или просто «весь заказ»);
$p$ - производительность (сколько работы делается за единицу времени: деталей в час, литров в минуту);
$t$ - время работы.

Из этой формулы легко выразить две другие величины: $p = \dfrac{A}{t}$ и $t = \dfrac{A}{p}$ .

Совместная работа

Если два человека или два механизма работают вместе, их производительности (скорости работы) складываются.

Наглядная схема сложения производительностей на примере двух

Алгоритм решения

Для задач на работу идеально подходит табличный метод. Он помогает не запутаться в данных и легко составить уравнение.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

Нарисуй таблицу из трёх столбцов: $p$ , $t$ , $A$ .
Заполни известные данные. Если объём работы не указан в штуках/литрах, ставь в столбец $A$ единицу.
Вырази неизвестное. Заполни пустые ячейки таблицы, используя формулы $A = p \cdot t$ или $t = A / p$ . Главное неизвестное обозначь за $x$ .
Составь уравнение. Найди в условии факт, который связывает строчки таблицы (например, разница во времени равна $1$ часу).
Реши уравнение и проверь ответ. Производительность и время не могут быть отрицательными.

Таблица производительностей для задачи на работу

Примеры решения

Разберём три самых частых типа задач от простого к сложному.

Пример 1. Классическая совместная работа

Условие: Один принтер в офисе печатает пакет документов за $24$ минуты, а другой, более быстрый, - за $8$ минут. За сколько минут распечатают тот же пакет оба принтера, если включить их одновременно?

Пример 2. Известно совместное время

Условие: Два экскаватора, работая вместе, выкапывают котлован под фундамент за $12$ часов. Известно, что первый экскаватор, работая в одиночку, справляется с этим же котлованом за $20$ часов. За сколько часов выкопает такой же котлован второй экскаватор, работая один?

Заполняем таблицу

Снова берём весь объём работы за $A = 1$ . Обозначим время второго экскаватора за $x$ .

Заполним таблицу:

	$p$ (скорость)	$t$ (время)	$A$ (работа)
Вместе	$\dfrac{1}{12}$	$12$	$1$
Первый	$\dfrac{1}{20}$	$20$	$1$
Второй	$\dfrac{1}{x}$	$x$	$1$

Составляем уравнение

Совместная производительность равна сумме производительностей каждого экскаватора:

p_{\text{совм}} = p_1 + p_2

Подставим данные из таблицы:

\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{x}

Решаем уравнение

Оставим $\dfrac{1}{x}$ с одной стороны:

\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20}

Приведём к общему знаменателю ( $60$ ):

\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{60} - \dfrac{3}{60}

\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{60}

Сократим дробь справа:

\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{30}

Следовательно, $x = 30$ . Второй экскаватор справится за $30$ часов.

Ответ: $30$

В некоторых задачах объём работы дан в явном виде (количество деталей, страниц, вопросов). В этом случае за $x$ обычно удобно брать именно этот объём.

Пример 3. Известна производительность в штуках

Условие: Два сотрудника готовят одинаковый по объёму отчёт. Первый набирает $18$ страниц в час, второй - $20$ страниц в час. Они одновременно начали работу, и первый закончил свой отчёт позже второго на $1$ час. Сколько страниц содержит отчёт?

Заполняем таблицу

Здесь работа измеряется в страницах. Пусть весь отчёт содержит $x$ страниц ( $A = x$ ).

Заполним таблицу:

	$p$ (стр/ч)	$t$ (ч)	$A$ (стр)
Первый	$18$	$\dfrac{x}{18}$	$x$
Второй	$20$	$\dfrac{x}{20}$	$x$

Составляем уравнение на разницу во времени

Известно, что первый сотрудник работал дольше второго на $1$ час. Значит, если из большего времени вычесть меньшее, получится $1$ :

t_{\text{первого}} - t_{\text{второго}} = 1

Подставим выражения из таблицы:

\dfrac{x}{18} - \dfrac{x}{20} = 1

Решаем уравнение и проверяем

Умножим обе части на общий знаменатель $180$ , чтобы избавиться от дробей:

180 \cdot \dfrac{x}{18} - 180 \cdot \dfrac{x}{20} = 180 \cdot 1

10x - 9x = 180

x = 180

Отчёт содержит $180$ страниц.

Проверка: Второй сотрудник наберёт $180$ страниц по $20$ в час за $9$ часов. Первый по $18$ в час - за $10$ часов. $10 - 9 = 1$ час разницы. Всё сходится.

Ответ: $180$

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение времени вместо производительности

Ошибка: Считать, что если первый делает заказ за $3$ часа, а второй за $2$ часа, то вместе они сделают его за $3 + 2 = 5$ часов. Правильно: Складывать можно только скорости (производительности). Время складывать нельзя! Вместе они работают быстрее, значит времени уйдёт меньше, чем у самого быстрого из них. Правильный расчёт: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$ заказа в час, значит время равно $\dfrac{6}{5} = 1{,}2$ часа.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в уравнении с разницей во времени

Ошибка: В задачах типа Примера 3 вычитать из времени быстрого работника время медленного и получать положительное число: $\dfrac{x}{20} - \dfrac{x}{18} = 1$ . Это приведёт к отрицательному $x$ . Правильно: Тот, кто работает быстрее (чья производительность больше), тратит меньше времени. Всегда вычитай из бóльшего времени (дроби с меньшим знаменателем) меньшее время (дробь с бóльшим знаменателем).

Что запомнить

Главные формулы: $A = p \cdot t$ , $p_{\text{совм}} = p_1 + p_2$ .
Складывать можно только производительности (скорости работы). Время складывать нельзя!
Если объём работы не указан в конкретных штуках - принимай всю работу за $1$ .
Таблица $p-t-A$ спасает от ошибок при составлении уравнения.
При составлении уравнения на разницу во времени: $\text{Время медленного} - \text{Время быстрого} = \text{Разница}$ .

Проверь себя

Первый мастер выполняет заказ за $6$ часов, второй — за $3$ часа. Какова их совместная производительность?
Два насоса вместе наполняют бассейн за $4$ часа. Первый насос в одиночку — за $6$ часов. За сколько часов наполнит бассейн второй насос?
Что можно складывать при совместной работе?
Первый рабочий делает $15$ деталей в час, второй — $12$ деталей в час, и первый закончил одинаковый заказ на $1$ час раньше. Какое уравнение верно ( $x$ — число деталей в заказе)?

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу (Задание 20)

Суть темы

Совместная работа

Алгоритм решения

Примеры решения

Принимаем работу за единицу и находим производительности

Складываем производительности

Находим общее время

Заполняем таблицу

Составляем уравнение

Решаем уравнение

Заполняем таблицу

Составляем уравнение на разницу во времени

Решаем уравнение и проверяем

Частые ошибки

Что запомнить