Разные задачи

Разные задачи (Задание 10)

Задание 10 проверяет умение работать с комбинациями простых фигур: круг внутри прямоугольника, клумба из квадрата и полукругов, кольцо для метания, угол между касательной и хордой. Никаких доказательств и сложных построений - только аккуратная сборка готовых формул площади и длины.

Суть темы

"Разные задачи" - это сюжеты, где прямоугольник, треугольник и окружность встречаются в одной фигуре. Главный приём - разобрать составную фигуру на простые части: сложить площади, если фигура собрана из кусков, или вычесть, если одна фигура вырезана из другой.

Часто в условии сказано: "в ответе считать $\pi=3$". Это упрощение, характерное именно для базового уровня. Ты не теряешь баллы, а просто подставляешь $3$ везде, где встречается $\pi$.

Основные формулы и факты

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три типовых сюжета: от простого составного контура до кольца и касательной.

Пример 1. Разметка беговой дорожки

На школьном стадионе беговая дорожка имеет форму прямоугольника с двумя полукругами на коротких сторонах. Длинная сторона прямоугольника $80$ м, короткая - $40$ м. Найди длину одной полной дорожки (периметр фигуры). В ответе считай $\pi = 3$.

Решение:

1. Контур стадиона состоит из двух длинных сторон прямоугольника и двух полукругов на коротких сторонах.
2. Два полукруга с диаметром $40$ м дают полную окружность радиуса $R = 20$ м:

$$L_{\text{окр}} = 2\pi R = 2 \cdot 3 \cdot 20 = 120 \text{ м}$$

3. Две длинные стороны: $2 \cdot 80 = 160$ м.
4. Общая длина дорожки:

$$P = 160 + 120 = 280 \text{ м}$$

Ответ: $280$

Пример 2. Кольцо для метания

Площадка для метания диска имеет форму кольца: внешний радиус $R = 5$ м, внутренний $r = 3$ м. Найди площадь кольца в квадратных метрах. В ответе считай $\pi = 3$.

Пример 3. Клумба из квадрата и полукругов

Клумба имеет форму квадрата со стороной $4$ м, к каждой стороне которого снаружи пристроен полукруг. Найди площадь клумбы в квадратных метрах. В ответе считай $\pi = 3$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Круг при $\pi = 3$: длина $L = 6R$, площадь $S = 3R^2$. Подставляй сразу.

• Составная фигура: сначала разбей на простые части (квадрат, треугольник, круг, полукруг), потом суммируй или вычитай площади.

• Кольцо: $S = \pi(R^2 - r^2)$. Считай $R^2 - r^2$ отдельно, чтобы не запутаться со скобками.

• Полукруги-близнецы: два полукруга одинакового радиуса собираются в один круг. Не удваивай случайно.

• Касательная: перпендикулярна радиусу в точке касания. Если видишь касательную - ищи прямой угол и прямоугольный треугольник.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна длина окружности радиуса $R = 10$, если считать $\pi = 3$?
   • $60$
   • $30$
   • $300$
2. Площадь кольца с внешним радиусом $R = 4$ и внутренним $r = 2$ при $\pi = 3$ равна:
   • $36$
   • $12$
   • $48$
3. Два полукруга с одинаковым диаметром вместе дают:
   • один полный круг
   • два полных круга
   • полкруга
4. Касательная к окружности и радиус, проведённый в точку касания, образуют угол:
   • $90^\circ$
   • $45^\circ$
   • $60^\circ$

Проверить