Действия с обыкновенными дробями - это фундамент для успешной сдачи базового ЕГЭ. В задании 14 (а также в текстовых задачах и геометрии) часто требуется сложить, умножить или разделить дроби. Главное правило экзамена: в бланк ответов можно записать только целое число или конечную десятичную дробь. Поэтому любую обыкновенную дробь в конце решения придётся перевести в десятичную.
Основные правила и формулы
Обыкновенная дробь состоит из числителя (сверху) и знаменателя (снизу). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель - сколько таких частей взяли. Если пирог разрезали на 8 равных кусков и ты съел 3 из них, значит, ты съел 83 пирога.
Искать общий знаменатель простым перемножением b⋅d можно, но иногда это даёт слишком большие числа. Лучше искать наименьшее общее кратное (НОК) - самое маленькое число, которое делится и на b, и на d.
Если в задаче встречается смешанное число (например, 273), перед умножением или делением его обязательно нужно перевести в неправильную дробь.
Алгоритм решения выражений с дробями
Для безошибочного вычисления длинных выражений придерживайся чёткого плана:
Примеры решения
Начнём с разгоночного примера: скобки, вычитание и умножение в одном выражении.
Пример 1. Скобки и умножение
Найди значение выражения (65−83)⋅1112.
Действие в скобках (вычитание)
Знаменатели 6 и 8. Их наименьшее общее кратное - 24 (так как 24 делится и на 6, и на 8).
Домножим первую дробь на 4, а вторую на 3:
6⋅45⋅4−8⋅33⋅3=2420−249=2411
Умножение
Теперь результат из скобок умножаем на вторую дробь. Записываем всё под общую черту и сокращаем:
2411⋅1112=24⋅1111⋅12
Числа 11 в числителе и знаменателе сокращаются полностью. Числа 12 и 24 сокращаются на 12 (в знаменателе остаётся 2):
2⋅11⋅1=21
Перевод в десятичную дробь
Домножим числитель и знаменатель на 5, чтобы внизу получилось 10:
2⋅51⋅5=105=0,5
Следующий пример - со смешанными числами и житейским сюжетом. Такие задачи часто встречаются в условиях ЕГЭ.
Пример 2. Смешанные числа в рецепте
По рецепту на один торт нужно 241 стакана муки. Ты печёшь 32 торта (получится поменьше). Сколько стаканов муки понадобится?
Составляем выражение
Нужно найти значение выражения 241⋅32.
Перевод смешанного числа
Перед умножением переведём 241 в неправильную дробь:
241=42⋅4+1=49
Умножение
Записываем под одну черту и сокращаем. Числа 9 и 3 сокращаются на 3 (в числителе остаётся 3), а числа 2 и 4 сокращаются на 2 (в знаменателе остаётся 2):
49⋅32=4⋅39⋅2=2⋅13⋅1=23
Перевод в десятичную дробь
Домножим числитель и знаменатель на 5:
2⋅53⋅5=1015=1,5
В третьем примере появится «многоэтажная» дробь - когда одна дробная черта длиннее других. Эта длинная черта работает как знак деления.
Пример 3. Вложенная (многоэтажная) дробь
Найди значение выражения 43+32−611.
Вычитание в знаменателе большой дроби
Общий знаменатель для 3 и 6 - это 6 (шестёрка делится и на 3, и на 6).
Домножим первую дробь на 2:
3⋅22⋅2−61=64−61=63=21
Главное деление
Длинная дробная черта - это знак деления. Делим 1 на 21, а деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь:
1:21=1⋅12=2
Сложение с первой дробью
Осталось посчитать 43+2. Целое число 2 запишем как дробь со знаменателем 4: 2=48.
43+48=411
Перевод в десятичную дробь
Домножим числитель и знаменатель на 25, чтобы в знаменателе получилось 100:
4⋅2511⋅25=100275=2,75
Частые ошибки
Что запомнить
Сложение и вычитание: ищем общий знаменатель, домножаем числители.
Умножение: пишем под общую черту, сокращаем одинаковые множители сверху и снизу, затем умножаем.
Деление: вторую дробь переворачиваем, знак меняем на умножение.
Смешанные числа: перед умножением и делением обязательно делаем из них неправильные дроби.
Финальный ответ: всегда переводим результат в десятичную дробь (доводим знаменатель до 10,100,1000 или делим числитель на знаменатель столбиком).
Проверь себя
Чему равно 21+31?
Как выполнить деление ba:dc?
Переведи 273 в неправильную дробь.
Что записать в бланк ответа, если в конце решения получилась дробь 23?
