Задание 16: Вычисления и преобразования

Задание 16. Вычисления и преобразования

Задание 16 проверяет умение работать с основными математическими функциями: степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией. Это чисто техническое задание - не нужно составлять уравнение по тексту, нужно просто аккуратно применить формулу и довести выражение до числа.

Ответ - целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

В этом задании собрана почти вся школьная алгебра, но пугаться не стоит: большинство задач решается в одно-два действия. Вот как распределяются темы:

• Логарифмы (около 60%) - самая частая тема. Сложение, вычитание логарифмов и вынесение степени.
• Степени (около 34%) - умножение и деление степеней, возведение степени в степень. Часто нужно привести всё к одному основанию.
• Тригонометрия (около 5%) - основное тригонометрическое тождество и формулы приведения.
• Корни (около 1%) - формула разности квадратов и базовые свойства квадратного корня.

Общий алгоритм решения

Почти любая задача этого номера решается по одному шаблону.

Примеры решения

Разберём самые популярные сюжеты: логарифмы, степени и немного тригонометрии.

Пример 1. Логарифмы с одинаковым основанием

Условие: Найдите значение выражения $\log_5 12{,}5 + \log_5 2$.

Решение:

1. Перед нами сумма двух логарифмов с одинаковым основанием $5$.
2. Применяем формулу: сумма логарифмов равна логарифму произведения.

$$\log_5 12{,}5 + \log_5 2 = \log_5 (12{,}5 \cdot 2)$$

3. Считаем то, что получилось в скобках: $12{,}5 \cdot 2 = 25$.

$$\log_5 25$$

4. Вспоминаем определение логарифма: в какую степень нужно возвести $5$, чтобы получить $25$? В квадрат. Значит, $\log_5 25 = 2$.

Ответ: $2$

Пример 2. Деление степеней с разными основаниями

Условие: Найдите значение выражения $\dfrac{9^6}{3^{10}}$.

Иррациональные выражения встречаются реже всего, но приём узнаваемый - почти всегда это формула разности квадратов.

Например, $(\sqrt{10} - \sqrt{3})(\sqrt{10} + \sqrt{3}) = 10 - 3 = 7$ - никаких корней в ответе не остаётся.

Тригонометрия встречается редко, но обычно сводится к одной главной формуле.

Пример 3. Поиск синуса по косинусу

Условие: Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = 0{,}8$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равно $\log_3 4{,}5 + \log_3 2$?
   • $2$
   • $\log_3 6{,}5$
   • $9$
   • $3$
2. Чему равно $\dfrac{4^5}{2^8}$?
   • $4$
   • $2$
   • $16$
   • $0{,}5$
3. Известно, что $\cos \alpha = 0{,}6$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Чему равен $\sin \alpha$?
   • $0{,}8$
   • $-0{,}8$
   • $0{,}4$
   • $0{,}64$
4. Как упростить $2^5 \cdot 2^3$?
   • $2^8$
   • $2^{15}$
   • $4^8$
   • $4^{15}$

Проверить