Действия с десятичными дробями

Действия с десятичными дробями (Задание 14)

В четырнадцатом задании ЕГЭ базового уровня тебя ждёт проверка вычислительных навыков. Сюжетных уловок здесь нет -- только числа и арифметические действия. Десятичные дроби встречаются в этом номере чаще всего, поэтому умение быстро и без ошибок складывать, умножать и делить числа с запятой -- залог уверенно полученного балла.

Ответ в задании 14 всегда либо целое число, либо конечная десятичная дробь. Если в вычислениях получается что-то вроде $0{,}3333\ldots$, то, скорее всего, где-то закралась ошибка.

Суть темы

Десятичная дробь -- это другой способ записи обыкновенной дроби, знаменатель которой равен $10$, $100$, $1000$ и так далее. Запятая отделяет целую часть от дробной. Принципиальное правило работы с такими числами: их всегда можно свести к обычным целым числам, если правильно двигать запятую.

Чтобы успешно справляться с заданием 14, нужно твёрдо знать переводы самых популярных обыкновенных дробей в десятичные. Это сэкономит время и убережёт от долгих вычислений столбиком.

Главные правила вычислений

При работе с десятичными дробями есть три основных правила -- по одному на каждое арифметическое действие.

1. Сложение и вычитание: запятая под запятой

Если вычисляешь столбиком, строго выравнивай числа по запятой. Пустые места справа можно заполнять нулями. Например, $3{,}2 - 1{,}15$ нужно записывать как $3{,}20 - 1{,}15$.

2. Умножение: считаем знаки после запятой

Умножай числа так, будто запятых нет вообще. Когда получишь результат, посчитай, сколько ВСЕГО цифр стояло после запятой у обоих множителей вместе. Именно столько цифр нужно отделить запятой в итоговом ответе (отсчитывая справа налево).

3. Деление: избавляемся от запятой в делителе

Алгоритм решения выражения

Примеры решения

Разберём три примера: от вычисления с житейским контекстом до работы со степенями десятки.

Пример 1. Цена и расход бензина

Условие: Автомобиль расходует $8{,}4$ литра бензина на каждые $100$ км. На приборной панели осталось $5{,}6$ литра, впереди спуск на $40$ км, где расход уменьшится на $2{,}1$ литра на $100$ км. Хватит ли бензина на этот участок? Найди значение выражения $\dfrac{5{,}6 - (8{,}4 - 2{,}1) \cdot 0{,}4}{0{,}7}$.

В некоторых задачах специально смешивают два формата дробей -- обыкновенные и десятичные. Ключ к успеху: свести всё к одному виду.

Пример 2. Масса и цена за килограмм

Условие: Торговец взвешивает орехи и считает стоимость. Найди значение выражения $\dfrac{9}{20} \cdot 0{,}8 + \dfrac{1}{5}$.

Часто числа записывают в стандартном виде -- через степени десятки. Так обычно указывают массы (например, масса Земли $\approx 6 \cdot 10^{24}$ кг) или расстояния. Здесь работают свойства степеней.

Пример 3. Степени десятки

Условие: Найди значение выражения $(6{,}3 \cdot 10^4) : (2{,}1 \cdot 10^{-1})$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Сложение и вычитание: выравнивай по запятой, дописывай нули справа.

• Умножение: умножай как обычные числа, потом отдели запятой сумму знаков обоих множителей. Если цифр в произведении меньше, чем нужно -- допиши нули слева.

• Деление: никогда не дели на дробь. Сдвигай запятые вправо, пока делитель не станет целым числом.

• Дроби-спасатели: выучи переводы для $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{8}$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равно произведение $0{,}2 \cdot 0{,}3$?
   • $0{,}06$
   • $0{,}6$
   • $0{,}006$
2. Чему равна сумма $1{,}2 + 0{,}03$?
   • $1{,}23$
   • $1{,}5$
   • $1{,}05$
3. Как записать дробь $\dfrac{1}{8}$ в виде десятичной?
   • $0{,}8$
   • $0{,}125$
   • $0{,}18$
4. Чему равно $(6{,}3 \cdot 10^4) : (2{,}1 \cdot 10^{-1})$?
   • $3 \cdot 10^5$
   • $3 \cdot 10^3$
   • $3 \cdot 10^4$

Проверить