Поиск

Задачи о числах

Содержание

Задачи о числах и логике (Задание 21)

Задание 21 завершает базовый ЕГЭ по математике. Это задача на смекалку: на разложение числа, на перебор небольшого набора вариантов, на оценку границ. Единого алгоритма нет, но есть три кирпичика, из которых собирают такие задачи: признаки делимости, запись числа через разряды и метод "оценка + перебор".

Ключевые факты и методы

Алгоритм решения

Несмотря на разнообразие сюжетов, к задаче 21 можно применять общий подход.

Дерево перебора вариантов

Примеры решения

Ниже три задачи от простой к более комплексной: запись числа через цифры, признаки делимости, перебор с границами.

Пример 1. Запись числа через цифры

Условие: Задумано двузначное число. Если к нему прибавить число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, получится 7777. Найди задуманное число, если известно, что цифра десятков на 33 больше цифры единиц.

Решение:

  1. Обозначь цифру десятков aa, цифру единиц bb. Тогда задуманное число:
ab‾=10a+b\overline{ab} = 10a + b

Число "наоборот":

ba‾=10b+a\overline{ba} = 10b + a
  1. Запиши условие про сумму:
(10a+b)+(10b+a)=77(10a + b) + (10b + a) = 77
11a+11b=77  ⟹  a+b=711a + 11b = 77 \implies a + b = 7
  1. Добавь условие про разность цифр:
a−b=3a - b = 3
  1. Сложи два уравнения: 2a=10  ⟹  a=52a = 10 \implies a = 5. Тогда b=7−5=2b = 7 - 5 = 2.
  2. Задуманное число: ab‾=52\overline{ab} = 52.

Проверка: 52+25=7752 + 25 = 77. Сходится.

Ответ: 5252

Пример 2. Делимость и перебор цифр

Условие: Номер квартиры -- трёхзначное число, которое делится и на 55, и на 99. Сумма его цифр равна 1818, а цифра сотен равна цифре десятков. Найди номер квартиры.

Пример 3. Перебор с оценкой границ

Условие: Возраст отца и сына -- двузначные числа. Если в записи возраста отца поменять цифры местами, получится возраст сына. Разница их возрастов равна 3636 годам. Сколько лет отцу, если сумма цифр его возраста равна 1010?

Частые ошибки

Что запомнить

  • Натуральные числа -- это числа для счёта: 1,2,3,…1, 2, 3, \dots Ноль не является натуральным числом.

  • Для задач про цифры используй запись ab‾=10a+b\overline{ab} = 10a + b, abc‾=100a+10b+c\overline{abc} = 100a + 10b + c.

  • Для задач "сколько этажей, подъездов, полок" -- раскладывай общее количество на простые множители и распределяй по условиям a<b<ca < b < c.

  • Для задач "сколько строк в таблице" -- считай общую сумму двумя способами и оценивай число строк как целое в узком коридоре 19n⩽S⩽20n19n \leqslant S \leqslant 20n.

  • Признаки делимости на 22, 33, 55, 99 -- самый быстрый способ отфильтровать кандидаты при переборе.

Стратегия на экзамене

Проверь себя
  1. Как раскладывается по разрядам двузначное число ab‾\overline{ab}?
  2. Число делится на 99, если...
  3. Целое xx удовлетворяет условию «больше 1818, но меньше 2121». Сколько значений подходит?
  4. Какая цифра может стоять на месте старшего разряда двузначного числа ab‾\overline{ab}?