Линейные, квадратные, кубические уравнения

Линейные, квадратные и кубические уравнения (Задание 17)

Задание 17 проверяет твоё умение находить неизвестную в базовых уравнениях. Уравнения могут выглядеть по-разному, но большинство из них сводится к линейным или квадратным после раскрытия скобок. Кубические уравнения тоже встречаются, но в самом простом виде.

Суть темы

Решить уравнение - значит найти все такие значения $x$, при подстановке которых левая часть будет в точности равна правой. Если уравнение имеет несколько корней, в тексте задачи обязательно укажут, какой именно корень нужно записать в ответ (например, наименьший или наибольший).

Основные формулы и правила

Часто в задании 17 встречаются скобки в квадрате. Чтобы их раскрыть, не нужно умножать скобку на скобку "фонтанчиком" - используй готовые формулы.

Если после всех преобразований переменная $x$ осталась только в первой степени, уравнение называется линейным. Оно решается переносом всех $x$ в одну сторону, а чисел - в другую.

Если $x$ остался во второй степени ($x^2$), уравнение квадратное. Для полного квадратного уравнения нужен дискриминант.

Корни - это точки, где парабола $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $X$. Дискриминант говорит, сколько таких точек: $D > 0$ - две, $D = 0$ - одна, $D < 0$ - ни одной.

Когда старший коэффициент $a = 1$ (приведённое уравнение $x^2 + px + q = 0$), корни можно подобрать устно без дискриминанта.

Если в квадратном уравнении нет слагаемого с $x$ или нет свободного числа, оно называется неполным. Решать его через дискриминант можно, но долго. Проще использовать другие подходы:

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём четыре задачи, которые покрывают все три типа уравнений из задания 17 -- от простого линейного до кубического.

Пример 1. Линейное уравнение

Условие: Реши уравнение $7x - 12 = 4x + 9$.

Решение:

1. Это линейное уравнение: $x$ встречается только в первой степени. Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую. При переносе через знак равенства знаки меняются на противоположные:

$$7x - 4x = 9 + 12$$

2. Приведём подобные слагаемые:

$$3x = 21$$

3. Разделим обе части на коэффициент при $x$:

$$x = \dfrac{21}{3} = 7$$

Проверка: подставим $7$ в исходное уравнение. Слева: $7 \cdot 7 - 12 = 49 - 12 = 37$. Справа: $4 \cdot 7 + 9 = 28 + 9 = 37$. Совпадает.

Ответ: $7$

Линейные уравнения часто описывают реальную ситуацию: когда сравняются возрасты двух людей, когда цена товара со скидкой сравняется с ценой в другом магазине, когда догонят друг друга два объекта. Это тот редкий случай в задании 17, где уравнение можно не только формально решить, но и понять "руками".

Пример 2. Неполное квадратное уравнение

Условие: Реши уравнение $2x^2 + 10x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажи меньший из них.

Пример 3. Полное квадратное уравнение

Условие: Реши уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запиши больший из них.

Пример 4. Кубическое уравнение

Условие: Найди корень уравнения $(x - 2)^3 = 27$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Следи за степенями: если есть $x^2$ и положительный дискриминант, корней будет два. Если уравнение сводится к $x^3 = a$, корень ровно один, и он сохраняет знак числа $a$.

• Не дели на $x$: выноси за скобки. Деление на переменную теряет корень $x = 0$.

• Формулы сокращённого умножения: не забывай удвоенное произведение -- в выражении $(x-3)^2$ будет $x^2 - 6x + 9$, а не просто $x^2 + 9$.

• Внимательно читай условие: подчёркивай слова "меньший корень" или "больший корень" перед тем, как записать ответ в бланк.

• Числа $a$, $b$, $c$ берутся вместе со знаком: в $x^2 - 14x + 48 = 0$ коэффициент $b = -14$, а не $14$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Сколько корней у уравнения $x^2 = 49$?
   • два: $7$ и $-7$
   • один: $7$
   • корней нет
2. Реши уравнение $x^3 = -8$. Что в ответе?
   • $-2$
   • $2$
   • $2$ и $-2$
3. В уравнении $x^2 - 5x = 0$ разделили обе части на $x$. Какой корень при этом потеряли?
   • $x = 0$
   • $x = 5$
   • $x = -5$
4. По теореме Виета для $x^2 - 9x + 20 = 0$ корни -- это числа, у которых...
   • сумма $9$, произведение $20$
   • сумма $-9$, произведение $20$
   • сумма $20$, произведение $9$

Проверить