Анализ геометрических высказываний

Содержание

Анализ геометрических высказываний (Задание 19)
Два формата вопроса — читай первую строку
Пять способов испортить верный факт
Арсенал дежурных контрпримеров
Алгоритм решения
Разбор примеров из банка
Отработка

Анализ геометрических высказываний (Задание 19)

В задании 19 нет ни чертежа, ни чисел, которые надо считать, — только три фразы про геометрию, и одну (или несколько) из них надо признать истинной. В конспекте по всему заданию ты уже видел общую идею: ложное утверждение убивается одним контрпримером, истинное обязано выполняться всегда. Здесь мы копнём глубже — разберём по какому шаблону портят фразы и соберём небольшой «арсенал» дежурных контрпримеров, которыми ты будешь сбивать ложные утверждения почти не задумываясь.

Смысл такой: настоящих сюжетов у составителя немного. Он берёт верный факт и делает с ним одну из пяти вещей. Научишься узнавать эти пять приёмов — и задание 19 превратится в узнавание, а не в размышление.

Два формата вопроса — читай первую строку

Прежде чем решать, посмотри на формулировку вопроса. Форматов ровно два, и путать их — обидная потеря балла.

Пять способов испортить верный факт

Почти каждое ложное утверждение задания 19 — это верный факт, к которому применили один из пяти приёмов. Ниже — приём, его «отремонтированная» правильная версия и чем ловить.

ВАЖНОЕ

Приём 1. Числовое искажение (полусумма → сумма, половина → целое)

Составитель меняет коэффициент: убирает «пол-», переворачивает дробь, теряет $\tfrac{1}{2}$ .

\text{средняя линия трапеции } = \dfrac{a+b}{2} \ (\text{полусумма!}), \qquad \text{вписанный угол} = \dfrac{1}{2}\,(\text{центральный})

Ловушка звучит как «средняя линия равна сумме оснований» или «вписанный угол равен центральному». Правильные версии средней линии есть в справочных материалах КИМ — сверься с листом, если сомневаешься.

ВАЖНОЕ

Приём 2. Перевёрнутая дробь в определении

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника:

\sin\alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}, \quad \tg\alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}

Гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ острого угла всегда меньше 1. Если во фразе получается «отношение гипотенузы к катету» — дробь перевёрнута, утверждение ложно. Эти определения есть в справочных материалах КИМ.

ВАЖНОЕ

Приём 3. Подмена фигуры (частное выдают за общее и наоборот)

Свойство узкой фигуры приписывают широкой — или наоборот.

S_{\text{ромба}} = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \ (\text{только при } d_1 \perp d_2), \qquad S_{\text{параллелограмма}} = a h

«Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей» — ложь (это про ромб). А вот «площадь ромба равна стороне на высоту» — правда, ведь ромб и есть параллелограмм. Формулы площадей есть в справочных материалах КИМ.

ВАЖНОЕ

Приём 4. Замена отношения (перпендикулярно ↔ параллельно, больше ↔ меньше)

Верную связь между объектами меняют на противоположную:

\text{радиус в точку касания } \perp \text{ касательной} \ (\text{а не } \parallel), \qquad \text{две прямые} \perp \text{третьей} \Rightarrow \text{они } \parallel

Слышишь «касательная параллельна радиусу» или «две прямые, перпендикулярные третьей, перпендикулярны» — это подменённое отношение.

Арсенал дежурных контрпримеров

Чтобы ломать слова «всегда» и «любой», не нужно фантазировать каждый раз. Держи в голове маленький набор «неудобных» фигур — почти всё ложное разбивается о них.

Набор дежурных контрпримеров для задания 19

СОВЕТ

Четыре фигуры, которые ломают почти всё

Тупоугольный треугольник — рушит «центр описанной окружности всегда внутри», «высота всегда внутри».
Прямоугольник $1\times2$ — рушит «в любой четырёхугольник (прямоугольник) можно вписать окружность»: суммы противоположных сторон $1+1 \ne 2+2$ .
Тройка $1,\,2,\,4$ — рушит «треугольник с такими сторонами существует»: $1+2=3<4$ , неравенство треугольника нарушено.
Угол $60^\circ$ — рушит «тангенс любого острого угла меньше 1»: $\tg 60^\circ=\sqrt{3}>1$ .

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как выполнять задание 19

Прочитай вопрос: «какое» (одна цифра) или «какие» (возможно несколько) — от этого зависит формат ответа.
Разбирай утверждения по одному. К каждому примерь пять приёмов: не искажён ли коэффициент, не перевёрнута ли дробь, не подменена ли фигура, не заменено ли отношение, нет ли категоричного «всегда/любой».
На «всегда/любой» доставай контрпример из арсенала (тупоугольный, прямоугольник $1\times2$ , тройка $1,2,4$ , угол $60^\circ$ ).
Сомневаешься в формуле — открой справочный лист: средние линии, определения синуса/косинуса/тангенса, площади, таблица значений там есть.
Отметь истинные. Для «какое» — единственная истинная цифра. Для «какие» — выпиши все истинные номера по возрастанию без пробелов.

Разбор примеров из банка

Все три задачи — реальные из нашего банка ОГЭ. Приём один: примеряем пять шаблонов, ломаем ложное контрпримером, оставшееся записываем.

Пример 1. Тангенс, средняя линия, серединный перпендикуляр

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Тангенс любого острого угла меньше единицы.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Серединный перпендикуляр: точка равноудалена от концов отрезка

Пример 2. Формат «какие» — два верных ответа

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

В параллелограмме есть два равных угла.
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пример 3. Диагонали ромба, вписанный угол, две окружности

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Две окружности пересекаются, если радиус одной из них больше радиуса другой.

Взаимное расположение двух окружностей: три случая

Отработка

Пять приёмов и арсенал контрпримеров работают только на автоматизме — прорешай подряд десяток-другой:

Все задачи типа 19: банк /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-19
Коллекция по теме «Анализ геометрических высказываний»: /math/oge-math/collections/topic-analiz-vyskazyvaniy-19-oge

Цель — довести до рефлекса: на «полусумму → сумму» и перевёрнутую дробь глаз реагирует мгновенно, а на «всегда/любой» рука сама тянется за тупоугольным треугольником или углом $60^\circ$ .

Анализ геометрических высказываний

Анализ геометрических высказываний (Задание 19)

Два формата вопроса — читай первую строку

Пять способов испортить верный факт

Арсенал дежурных контрпримеров

Алгоритм решения

Разбор примеров из банка

Утверждение 1 — приём 5 (категоричное «любой»)

Утверждение 2 — приём 1 (числовое искажение)

Утверждение 3

Ответ

Утверждение 1

Утверждение 2

Утверждение 3 — приём 1 (числовое искажение)

Ответ

Утверждение 1

Утверждение 2 — приём 1 (числовое искажение)

Утверждение 3 — приём 4 (подменённая связь)

Ответ

Отработка