Четырёхугольники

Два отрезка — что это

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия, равная $\dfrac{a+b}{2}$. Отрезок, соединяющий середины оснований, разберём построением.

Продлеваем боковые стороны

Продлим $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$. В треугольнике $APD$:

Пусть $N$ — середина $AD$, $M$ — середина $BC$. Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине, поэтому $PN = \dfrac{a}{2}$, а из подобного треугольника $BPC$ (тоже прямоугольного при $P$) $PM = \dfrac{b}{2}$. Точки $P$, $M$, $N$ лежат на одной прямой, значит

Составляем систему

Полусумма больше полуразности, поэтому большему числу отвечает средняя линия:

Отсюда $a+b = 40$, $a-b = 34$, значит $a = 37$, $b = 3$.

Ответ: основания равны $3$ и $37$.

Дополнительное построение

Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. В треугольниках $ADM$ и $BPM$:

Значит $\triangle ADM = \triangle BPM$, откуда $BP = AD$.

Ловим равнобедренный треугольник

Так как $AD \parallel PC$, накрест лежащие углы дают $\angle ADP = \angle DPC$. Но $DP$ — биссектриса, поэтому $\angle ADP = \angle CDP$. Значит $\angle DPC = \angle CDP$: треугольник $CDP$ равнобедренный и $CP = CD = 25$. Точка $B$ лежит на $CP$, поэтому

Высота и площадь

Основания $BC = 9$, $AD = 16$, боковые $24$ и $25$. Разность оснований $16 - 9 = 7$ образует с боковыми сторонами треугольник со сторонами $7$, $24$, $25$; его высота к стороне $7$ и есть высота трапеции. По формуле Герона $p = 28$,

Ответ: $300$.

Находим стороны

В трапецию можно вписать окружность, значит $AB + CD = BC + AD$, то есть $a + b = 2c$. С периметром $a + b + 2c = 40$ получаем $4c = 40$: $c = 10$ и $a + b = 20$.

Высота

Основания

Опустим высоту из вершины меньшего основания; её проекция равна $\dfrac{a-b}{2}$. По теореме Пифагора:

Вместе с $a + b = 20$: $a = 16$, $b = 4$.

Расстояние до меньшего основания

Диагонали дают подобные треугольники $BOC$ и $DOA$ с коэффициентом $k = \dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{16} = \dfrac14$. Расстояния от $O$ до оснований относятся так же и в сумме равны $h$:

Ответ: $1{,}6$.