Углы

Углы (Задание 23)

В конспекте по всему заданию 23 мы прошлись по четырём сюжетам — треугольники, четырёхугольники, окружности и углы. Здесь берём именно углы, и сразу важная мысль: в задании 23 угол почти никогда не бывает самоцелью. Он работает как ключ.

Смотри, что даёт угол в задаче на вычисление:

• Равные углы (накрест лежащие при параллельных, вертикальные, вписанные на одну дугу) открывают подобие — а подобие уже считает длины.

• Известный угол плюс радиус описанной окружности связываются теоремой синусов: сторона $=2R\sin$ угла.

• Прямой угол превращает сторону в катет и запускает $\sin$, $\cos$, теорему Пифагора.

• И только иногда угол просят найти напрямую — тогда работают сумма углов и свойства окружности.

Поэтому в 23-м задании привычка «посчитать все углы, какие получается» окупается: чертёж, на котором расставлены градусы и отмечены равные углы, часто решается сам собой.

Приём 1. Углы при параллельных прямых

Самый частый источник равных углов в задании 23 — параллельность. Она почти всегда спрятана в условии: основания трапеции, противоположные стороны параллелограмма и ромба, средняя линия, фраза «прямая, параллельная стороне $AC$», «отрезки лежат на параллельных прямых».

Приём 2. Сумма углов и её следствия

Из суммы углов треугольника вытекают три вещи, которые в задании 23 используются постоянно:

• Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; знаешь угол при вершине $\beta$ — угол при основании равен $\dfrac{180^\circ - \beta}{2}$.

• В прямоугольном треугольнике два острых угла дают в сумме $90^\circ$.

Приём 3. Углы в окружности

Здесь живут самые «богатые» углы: один известный угол вытягивает за собой половину чертежа.

Приём 4. От угла к стороне

Когда углы посчитаны, наступает вторая половина задачи: перевести градусы в длины. На ОГЭ для этого есть ровно три моста.

Как решать

Разбор задач из банка

Три задачи, в которых угол — рабочий инструмент: сначала он даёт сторону через теорему синусов, потом подобие, потом — косинус и радиус.

Пример 1. Угол открывает сторону

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $64^\circ$ и $86^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $13$.

Пример 2. Накрест лежащие углы дают подобие

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB=15$, $DC=30$, $AC=39$.

Пример 3. Биссектриса, косинус и радиус

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.

Что запомнить

• Угол в задании 23 — инструмент: равные углы $\to$ подобие, известный угол $\to$ теорема синусов, прямой угол $\to$ $\sin$, $\cos$ и Пифагор.

• Параллельные прямые дают равные накрест лежащие и соответственные углы, а односторонние — сумму $180^\circ$.

• В окружности: вписанный $=$ половина центрального на ту же дугу, на диаметр $=90^\circ$, во вписанном четырёхугольнике противоположные углы дают $180^\circ$.

• Из справочных материалов доступны сумма углов $180^\circ(n-2)$, теоремы синусов и косинусов, основное тождество и таблица значений. Углы при параллельных, свойства окружности и свойство биссектрисы — только наизусть.

• Каждое равенство углов в чистовике объясняй словами — за обоснование и дают эти 2 балла.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Подборка именно по углам — коллекция «Углы».

Смежные подтемы, где углы работают в паре с длинами: Треугольники и Четырёхугольники.